2.若A为三阶方阵,且 |A+2E|=0 |2A+E|=0, |3A-4E|=0, 则 |A|= ()-|||-A.8 B -8-|||-C. dfrac (4)(3) D. -dfrac (4)(3)

考查要点：本题主要考查矩阵行列式与特征值的关系，以及特征值的乘积性质。

解题核心思路：
当矩阵 $A$ 满足 $|A - \lambda E| = 0$ 时，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值。题目中给出的三个行列式为零的条件，分别对应 $A$ 的三个特征值。利用特征值的乘积等于矩阵行列式即可求解。

破题关键点：

1. 将每个行列式条件转化为对应的特征值；
2. 计算三个特征值的乘积得到 $|A|$。

步骤1：提取特征值

1. 由 $|A + 2E| = 0$
   变形为 $|A - (-2)E| = 0$，说明 $\lambda_1 = -2$ 是 $A$ 的特征值。

2. 由 $|2A + E| = 0$
   提取公因子 $2$，得 $|2(A + \frac{1}{2}E)| = 0$，即 $2^3 |A + \frac{1}{2}E| = 0$，因此 $|A - (-\frac{1}{2})E| = 0$，说明 $\lambda_2 = -\frac{1}{2}$ 是 $A$ 的特征值。

3. 由 $|3A - 4E| = 0$
   提取公因子 $3$，得 $|3(A - \frac{4}{3}E)| = 0$，即 $3^3 |A - \frac{4}{3}E| = 0$，因此 $|A - \frac{4}{3}E| = 0$，说明 $\lambda_3 = \frac{4}{3}$ 是 $A$ 的特征值。

步骤2：计算行列式

矩阵 $A$ 的行列式等于其所有特征值的乘积：
$|A| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = (-2) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{3}.$