13.设A为n阶矩阵,证明-|||-(2)若 ^2=E, 且A的特征值都等于1,则 =E.

考查要点：本题主要考查矩阵的特征值性质、矩阵方程的解法以及矩阵可逆性的应用。

解题核心思路：

1. 利用矩阵方程变形：由已知条件 $A^2 = E$，可变形为 $(A - E)(A + E) = 0$。
2. 分析矩阵可逆性：根据特征值均为1，说明 $A + E$ 的特征值均为2，从而 $A + E$ 可逆。
3. 推导唯一解：结合可逆性，从方程 $(A - E)(A + E) = 0$ 直接推出 $A - E = 0$，即 $A = E$。

破题关键点：

• 特征值与矩阵可逆的关系：特征值均为1 ⇒ $A + E$ 的特征值均为2 ⇒ $A + E$ 可逆。
• 方程的简化：通过可逆矩阵的性质，消去可逆因子，直接得到 $A = E$。

步骤1：矩阵方程变形
由 $A^2 = E$，可得：
$A^2 - E = 0 \implies (A - E)(A + E) = 0.$

步骤2：分析 $A + E$ 的可逆性

• 已知 $A$ 的特征值均为1，则 $A + E$ 的特征值为 $1 + 1 = 2$。
• 特征值非零 ⇒ $A + E$ 是可逆矩阵。

步骤3：消去可逆因子
在方程 $(A - E)(A + E) = 0$ 中，左乘 $(A + E)^{-1}$：
$(A - E)(A + E)(A + E)^{-1} = 0 \cdot (A + E)^{-1} \implies A - E = 0.$

结论：
$A = E.$