25.设随机变量X,Y相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布.-|||-(1)求E(XY), E(X/Y) ,E[ln(XY)], (|Y-X|).-|||-(2)以X,Y为边长作一长方形,以A,C分别表示长方形的面积和周长,求A和C的相-|||-关系数.

考查要点：本题主要考查独立均匀分布随机变量的期望计算以及随机变量相关系数的求解。
解题思路：

1. 第一部分：
   • E(XY)：利用独立性直接计算；
   • E(X/Y)：通过积分判断是否存在；
   • E[ln(XY)]：分解为对数期望之和；
   • E(|Y−X|)：对称性积分求解。
2. 第二部分：
   • 相关系数：通过协方差与方差计算，注意独立性带来的简化。

破题关键：

• 独立性简化期望与方差；
• 积分计算技巧（如分部积分、对称性）；
• 相关系数公式的应用。

第（1）题

E(XY)

独立性应用：
由于X与Y独立，故
$E(XY) = E(X)E(Y).$
X和Y均服从(0,1)均匀分布，故
$E(X) = E(Y) = \frac{1}{2},$
因此
$E(XY) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}.$

E(X/Y)

积分判断收敛性：
$E\left(\frac{X}{Y}\right) = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x}{y} \, dx \, dy.$
先对x积分：
$\int_0^1 x \, dx = \frac{1}{2},$
剩余积分变为：
$\frac{1}{2} \int_0^1 \frac{1}{y} \, dy.$
由于$\int_0^1 \frac{1}{y} \, dy$发散，故E(X/Y)不存在。

E[ln(XY)]

对数性质分解：
$E[\ln(XY)] = E[\ln X + \ln Y] = E(\ln X) + E(\ln Y).$
计算单边期望：
$E(\ln X) = \int_0^1 \ln x \, dx = -1,$
因此
$E[\ln(XY)] = -1 + (-1) = -2.$

E(|Y−X|)

对称性积分：
$E(|Y - X|) = \int_0^1 \int_0^1 |x - y| \, dx \, dy.$
对称性下，积分可化简为：
$2 \int_0^1 \int_0^x (x - y) \, dy \, dx = 2 \int_0^1 \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{1}{3}.$

第（2）题

相关系数ρ_AC

协方差与方差计算：

• 协方差：
  $\text{Cov}(A, C) = E(AC) - E(A)E(C).$
  计算得：
  $E(AC) = \frac{2}{3}, \quad E(A) = \frac{1}{4}, \quad E(C) = 2,$
  故
  $\text{Cov}(A, C) = \frac{1}{6}.$
• 方差：
  $\text{Var}(A) = \frac{7}{144}, \quad \text{Var}(C) = \frac{2}{3}.$
• 相关系数：
  $\rho_{AC} = \frac{\text{Cov}(A, C)}{\sqrt{\text{Var}(A)\text{Var}(C)}} = \sqrt{\frac{6}{7}}.$