8.设 f(x)= ,xgt 0 a+{x)^2,xlt 0. . 问a为何值时 lim f(x )存在,并求该极限值.

考查要点：本题主要考查分段函数在分段点处的极限存在条件，以及利用夹逼定理求解极限的方法。

解题核心思路：
当分段函数在分段点处的左右极限存在且相等时，极限存在。因此，需要分别计算$x \to 0^+$和$x \to 0^-$时的极限，令两者相等，解出参数$a$的值。

破题关键点：

1. 左极限（$x \to 0^-$）：直接代入表达式$a + x^2$，利用$x^2 \to 0$求解。
2. 右极限（$x \to 0^+$）：利用夹逼定理，结合$\sin(1/x)$有界性，得出极限值。
3. 等式联立：令左右极限相等，确定$a$的值。

步骤1：计算右极限（$x \to 0^+$）

当$x > 0$时，$f(x) = x \cdot \sin \dfrac{1}{x}$。
由于$\sin \dfrac{1}{x}$的取值范围为$[-1, 1]$，因此：
$\left| x \cdot \sin \dfrac{1}{x} \right| \leq |x|$
当$x \to 0^+$时，$|x| \to 0$，根据夹逼定理：
$\lim_{x \to 0^+} x \cdot \sin \dfrac{1}{x} = 0$

步骤2：计算左极限（$x \to 0^-$）

当$x < 0$时，$f(x) = a + x^2$。
当$x \to 0^-$时，$x^2 \to 0$，因此：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = a + 0 = a$

步骤3：联立左右极限

若$\lim_{x \to 0} f(x)$存在，则左右极限必须相等：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^-} f(x) \implies 0 = a$
因此，$a = 0$，此时极限值为$0$。