题目
.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性.
.试判断函数f(z)=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3) 的可微性和解析性.
题目解答
答案
最佳答案
设f(z)=u+iv,其中 u=x³-3xy,v=3yx² -y³
由可导条件需满足:柯西-黎曼条件,即 ∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x
而∂u/∂x=6x²+3y,∂u/∂y=-3x,
∂v/∂x=6xy,∂v/∂y=3x²-3y²
若要满足柯西-黎曼条件,需要 6x²+3y=3x²-3y²,-3x=-6xy
即x²+y²+y=0,y=1/2,
所以f(z)在直线x²+y²+y=0,y=1/2,上可导,
而由解析的定义,f(z)在整个复平面上处处不解析.
解析
步骤 1：定义函数
设函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y) = x^3 - 3xy^2$，$v(x, y) = 3x^2y - y^3$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 的偏导数：
- $\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy$
- $\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy$
- $\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2$
步骤 3：验证柯西-黎曼条件
根据柯西-黎曼条件，需要满足：
- $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
将偏导数代入柯西-黎曼条件：
- $3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2$ （满足）
- $-6xy = -6xy$ （满足）
步骤 4：确定可微性和解析性
由于柯西-黎曼条件在所有点 $(x, y)$ 上都满足，因此函数 $f(z)$ 在整个复平面上可微。但是，由于函数 $f(z)$ 的偏导数在所有点 $(x, y)$ 上都存在且连续，因此函数 $f(z)$ 在整个复平面上解析。
设函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$，其中 $u(x, y) = x^3 - 3xy^2$，$v(x, y) = 3x^2y - y^3$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 的偏导数：
- $\frac{\partial u}{\partial x} = 3x^2 - 3y^2$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = -6xy$
- $\frac{\partial v}{\partial x} = 6xy$
- $\frac{\partial v}{\partial y} = 3x^2 - 3y^2$
步骤 3：验证柯西-黎曼条件
根据柯西-黎曼条件，需要满足：
- $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$
- $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$
将偏导数代入柯西-黎曼条件：
- $3x^2 - 3y^2 = 3x^2 - 3y^2$ （满足）
- $-6xy = -6xy$ （满足）
步骤 4：确定可微性和解析性
由于柯西-黎曼条件在所有点 $(x, y)$ 上都满足，因此函数 $f(z)$ 在整个复平面上可微。但是，由于函数 $f(z)$ 的偏导数在所有点 $(x, y)$ 上都存在且连续，因此函数 $f(z)$ 在整个复平面上解析。