题目
xdy+2ydx=0, y|x=2=1.
xdy+2ydx=0, y|x=2=1.
题目解答
答案
分离变量得
, 两边积分得
,即 ln y=-2ln x+ln C,
或 y=Cx-2. 由y|x=2=1得C∙2-2=1, C=4, 所以特解为
.
解析
步骤 1：分离变量
给定的微分方程是 $xdy+2ydx=0$。首先，我们分离变量，将 $y$ 和 $dy$ 放在方程的一边，将 $x$ 和 $dx$ 放在方程的另一边。这可以写成 $\dfrac {1}{y}dy=-\dfrac {2}{x}dx$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边进行积分。左边对 $y$ 积分，右边对 $x$ 积分。这可以写成 $\int \dfrac {1}{y}dy=-\int \dfrac {2}{x}dx$。
步骤 3：求解
积分后得到 $\ln y=-2\ln x+\ln C$，其中 $C$ 是积分常数。利用对数的性质，可以将方程写成 $y=Cx^{-2}$ 的形式。
步骤 4：应用初始条件
根据初始条件 $y|x=2=1$，代入 $x=2$ 和 $y=1$，得到 $1=C\cdot2^{-2}$，从而解得 $C=4$。
给定的微分方程是 $xdy+2ydx=0$。首先，我们分离变量，将 $y$ 和 $dy$ 放在方程的一边，将 $x$ 和 $dx$ 放在方程的另一边。这可以写成 $\dfrac {1}{y}dy=-\dfrac {2}{x}dx$。
步骤 2：积分
对分离变量后的方程两边进行积分。左边对 $y$ 积分，右边对 $x$ 积分。这可以写成 $\int \dfrac {1}{y}dy=-\int \dfrac {2}{x}dx$。
步骤 3：求解
积分后得到 $\ln y=-2\ln x+\ln C$，其中 $C$ 是积分常数。利用对数的性质，可以将方程写成 $y=Cx^{-2}$ 的形式。
步骤 4：应用初始条件
根据初始条件 $y|x=2=1$，代入 $x=2$ 和 $y=1$，得到 $1=C\cdot2^{-2}$，从而解得 $C=4$。