一、计算题8、计算下列二重积分 (9) int_(1)^3dxint_(x-1)^2sin y^2dy

为了计算二重积分 $\int_{1}^{3}dx\int_{x-1}^{2}\sin y^{2}dy$，我们首先需要理解积分区域。积分区域由 $1 \leq x \leq 3$ 和 $x-1 \leq y \leq 2$ 定义。我们可以将这个区域重写为 $0 \leq y \leq 2$ 和 $1 \leq x \leq y+1$。因此，我们可以交换积分的顺序，积分变为： \[ \int_{0}^{2}dy\int_{1}^{y+1}\sin y^{2}dx \] 现在，我们首先对 $x$ 进行积分。由于 $\sin y^2$ 是 $y$ 的函数，它在对 $x$ 积分时可以被视为常数。因此，我们有： \[ \int_{1}^{y+1}\sin y^{2}dx = \sin y^{2} \int_{1}^{y+1}dx = \sin y^{2} \left[(y+1) - 1\right] = y \sin y^{2} \] 现在，我们需要对 $y$ 积分 $y \sin y^2$： \[ \int_{0}^{2} y \sin y^{2} dy \] 为了计算这个积分，我们使用换元法。设 $u = y^2$。那么 $du = 2y \, dy$，或者 $y \, dy = \frac{1}{2} du$。当 $y = 0$ 时，$u = 0$，当 $y = 2$ 时，$u = 4$。因此，积分变为： \[ \int_{0}^{4} \sin u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sin u \, du \] $\sin u$ 的积分是 $-\cos u$，所以我们有： \[ \frac{1}{2} \left[ -\cos u \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} \left( -\cos 4 + \cos 0 \right) = \frac{1}{2} \left( -\cos 4 + 1 \right) = \frac{1}{2} (1 - \cos 4) \] 因此，二重积分的值是： \[ \boxed{\frac{1}{2}(1 - \cos 4)} \]