(单选题，3.3分)幂级数sum_(n=0)^infty((-1)^n)/(n+1)z^n+1在|z|A. ln(1+z)B. ln(1-z)C. ln(1)/(1+z)D. ln(1)/(1-z)

考查要点：本题主要考查幂级数求和的基本方法，特别是通过求导转化为几何级数，再积分求得原级数的和函数。

解题核心思路：

1. 对和函数求导，将原级数转化为几何级数形式，利用已知的几何级数求和公式简化问题。
2. 积分还原：通过对导数结果积分，结合初始条件确定积分常数，最终得到和函数。

破题关键点：

• 识别几何级数结构：通过对原级数求导，得到几何级数$\sum (-z)^n$，其和为$\frac{1}{1+z}$。
• 积分与初始条件：积分$\frac{1}{1+z}$后，通过代入$z=0$确定常数项为0。

设幂级数的和函数为$S(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} z^{n+1}$。

步骤1：对$S(z)$求导

对$S(z)$关于$z$求导，得：
$S'(z) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^n.$
该级数是首项为1、公比为$-z$的几何级数，其和为：
$S'(z) = \frac{1}{1 + z} \quad (|z| < 1).$

步骤2：积分求$S(z)$

对$S'(z)$积分：
$S(z) = \int \frac{1}{1 + z} \, dz = \ln|1 + z| + C.$
在$|z| < 1$内，$1 + z > 0$，故可省略绝对值符号，得：
$S(z) = \ln(1 + z) + C.$

步骤3：确定常数$C$

当$z = 0$时，原级数所有项均为0，故$S(0) = 0$。代入得：
$\ln(1 + 0) + C = 0 \implies C = 0.$
因此，和函数为：
$S(z) = \ln(1 + z).$