题目

7.(本题12分)设x=(sqrt(t+1)-sqrt(t))/(sqrt(t+1)+sqrt(t))，y=(sqrt(t+1)+sqrt(t))/(sqrt(t+1)-sqrt(t))，当t为______时，代数式20x²+62xy+20y²=2022.

7.(本题12分)设$x=\frac{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}$，$y=\frac{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}$，当t为______时，代数式20x²+62xy+20y²=2022.

题目解答

答案

设 $x = \frac{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t+1} + \sqrt{t}}$，$y = \frac{\sqrt{t+1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}$，则 $xy = 1$。 由 $x + y = \frac{(\sqrt{t+1} - \sqrt{t})^2 + (\sqrt{t+1} + \sqrt{t})^2}{(\sqrt{t+1})^2 - (\sqrt{t})^2} = \frac{2(2t + 1)}{1} = 4t + 2$， 代入方程 $20x^2 + 62xy + 20y^2 = 2022$，得 \[ 20(x^2 + y^2) + 62 = 20((x + y)^2 - 2) + 62 = 2022 \] 解得 $(x + y)^2 = 100$，即 $x + y = \pm 10$。 由 $x + y = 4t + 2$，得 $t = 2$ 或 $t = -3$（舍）。 **答案：** $\boxed{2}$

解析

考查要点：本题主要考查代数式的化简与求解，涉及分式运算、平方差公式的应用，以及二次方程的求解。关键在于发现$x$与$y$的乘积关系，并利用对称性简化表达式。

解题思路：

  1. 观察$x$与$y$的结构，发现它们互为倒数，即$xy=1$，从而简化后续计算。
  2. 将目标代数式$20x^2 + 62xy + 20y^2$转化为关于$x+y$的表达式，利用$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy$进行变形。
  3. 求$x+y$的值，通过通分和平方差公式化简，得到$x+y = 4t + 2$。
  4. 联立方程求解$t$，注意验证解的合理性（如根号下非负）。

步骤1：计算$xy$的值

由$x = \frac{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}{\sqrt{t+1} + \sqrt{t}}$，$y = \frac{\sqrt{t+1} + \sqrt{t}}{\sqrt{t+1} - \sqrt{t}}$，得：
$xy = \frac{(\sqrt{t+1} - \sqrt{t})(\sqrt{t+1} + \sqrt{t})}{(\sqrt{t+1} + \sqrt{t})(\sqrt{t+1} - \sqrt{t})} = \frac{(t+1) - t}{(t+1) - t} = 1.$

步骤2：化简目标代数式

将$20x^2 + 62xy + 20y^2$变形为：
$20(x^2 + y^2) + 62xy = 20[(x+y)^2 - 2xy] + 62.$
代入$xy=1$，得：
$20[(x+y)^2 - 2] + 62 = 20(x+y)^2 + 22.$
根据题意，$20(x+y)^2 + 22 = 2022$，解得：
$(x+y)^2 = 100 \quad \Rightarrow \quad x+y = \pm 10.$

步骤3：求$x+y$的表达式

通分$x+y$：
$x + y = \frac{(\sqrt{t+1} - \sqrt{t})^2 + (\sqrt{t+1} + \sqrt{t})^2}{(\sqrt{t+1})^2 - (\sqrt{t})^2} = \frac{4t + 2}{1} = 4t + 2.$

步骤4：联立方程求$t$

由$x+y = \pm 10$，得：

  1. $4t + 2 = 10 \quad \Rightarrow \quad t = 2$；
  2. $4t + 2 = -10 \quad \Rightarrow \quad t = -3$（舍去，因$t \geq 0$）。