题目

完型填空（共5题，30.0分）38. (6.0分) 计算三重积分iiintlimits_(E)zdV，其中E是位于圆柱面x^2+y^2leq4内部，上下界为z=0和z=4-x^2-y^2之间的立体。解：由柱坐标变换公式：underline(1)y=rsintheta，x^2+y^2=r^2，dV=rdrdtheta，可得积分区域为：underline(2) 0leqthetaleq2pi， 0leq zleq4-r^2，iiintlimits_(E)zdV=int_(0)^2piint_(0)^2int_(0)^4-r^(2)zdV=0cdotpicdot(1)/(3)cdot8pi=0

完型填空（共5题，30.0分） 38. (6.0分) 计算三重积分$\iiint\limits_{E}zdV$，其中E是位于圆柱面$x^{2}+y^{2}\leq4$内部，上下界为z=0和$z=4-x^{2}-y^{2}$之间的立体。 解：由柱坐标变换公式：$\underline{1}$ $y=r\sin\theta$，$x^{2}+y^{2}=r^{2}$，$dV=rdrd\theta$， 可得积分区域为：$\underline{2}$ $ 0\leq\theta\leq2\pi$，$ 0\leq z\leq4-r^{2}$， $\iiint\limits_{E}zdV=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r^{2}}zdV=0\cdot\pi\cdot\frac{1}{3}\cdot8\pi=0$

题目解答

答案

1. **柱坐标变换**： $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$。 2. **积分区域**： $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq r \leq 2$，$0 \leq z \leq 4 - r^2$。 3. **计算三重积分**： \[ \iiint\limits_{E} z \, dV = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \int_{0}^{4-r^2} zr \, dz \, dr \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \frac{(4-r^2)^2}{2} r \, dr \, d\theta. \] 令 $u = 4 - r^2$，则 $du = -2r \, dr$，积分变为： \[ \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{4} \int_{4}^{0} u^2 \, (-du) \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{16}{3} \, d\theta = \frac{32\pi}{3}. \] **答案**： 1. $x = r \cos \theta$，$y = r \sin \theta$，$dV = r \, dr \, d\theta \, dz$ 2. $0 \leq \theta \leq 2\pi$，$0 \leq r \leq 2$，$0 \leq z \leq 4 - r^2$ 3. $\boxed{\frac{32\pi}{3}}$

解析

本题主要考查利用柱坐标变换计算三重积分的知识。解题思路是先根据柱坐标变换公式将直角坐标系下的积分区域和被积函数进行转换，然后确定积分限，最后按照积分顺序逐步计算三重积分。

  1. 柱坐标变换公式：
    在柱坐标系中，直角坐标$(x,y,z)$与柱坐标$(r,\theta,z)$的转换关系为$x = r \cos\theta$，$y = rsin\theta$，体积元素$dV$在柱坐标下的表达式为$dV = r\ dr\ d\theta\ dz$。这是因为在柱坐标中，$r$表示点到$z$轴的距离，$\theta$表示绕$z$轴旋转的角度，$z$表示高度。通过这种变换，可以将复杂的直角坐标积分区域转化为更简单的柱坐标积分区域。
  2. 确定积分区域：**
    • 对于角度$\theta$：由于立体是位于圆柱面$x^{2}+y^{2}\leq4$内部，绕$z$轴旋转一周，所以$\theta$的取值范围是$0\leq\theta\leq2\pi$。
    • 对于半径$r$：由圆柱面方程$x^{2}+y^{2}=r^{2\leq4$，可得$0\leq r\leq2$。
    • 对于高度$z$：已知上下界为$z = 0$和$z = 4 - x^{2}-y^{2}$，将$x^{2 + y2=r2$代入，得到$0\leq z\leq4 - r^{2}$。
  3. 计算三重积分：
    • 原积分$\iiint\limits_{E}zdV$在柱坐标下变为$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4 - r^{2}}z\cdot r\ dz\ dr\ d\theta$。
    • 先对$z$积分：
      根据积分公式$\int z\ dz=\frac{1}{2}z^{2}+C$，可得$\int_{0}^{4 - r^{2}}z\cdot r\ dz=r\cdot[\frac{1}{2}z^{2}]_{0}^{4 - r^{2}}=\frac{r(4 - r^{2})^{2}}{2}$。
    • 再对$r$积分：
      令$u = 4 - r^{2}$，则$du=-2r\ dr$。当$r = 0$时，$u = 4$；当$r = 2$时，$u = 0$。
      $\int_{0}^{2}\frac{r(4 - r^{2})^{2})}{2}dr=-\frac{1}{4}\int_{4}^{0}u^{2}du=\frac{1}{4}\int_{0}^{4}u^{2}du$。
      根据积分公式$\int u^{n}du=\frac{1}{n + 1}u^{n + 1}+C(n\neq - 1)$，可得$\frac{1}{4}\int_{0^{4}u^{2}du=\frac{1}{4}\cdot[\frac{1}{3}u^{3}]_{0}^{4}=\frac{16}{3}$。
    • 最后对$\theta$积分：
      $\int_{0}^{2\pi}\frac{16}{3}d\theta=\frac{16}{3}[\theta]_{0}^{2\pi}=\frac{32\pi}{3}$。