题目
2-6 图示为一斜面,倾角为α,底边AB长为 l=2.1m ,质量为m的物体从斜面顶端由静-|||-止开始向下滑动,物体与斜面间的摩擦因数为 mu =0.14 试问,当α为何值时,物体在斜面上下-|||-滑的时间最短?其值为多少?-|||-m-|||-A. α B-|||-l-|||-习题 2-6 圈
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定物体沿斜面下滑的加速度
物体沿斜面下滑时，受到重力和摩擦力的作用。重力沿斜面的分量为 $mg\sin\alpha$，摩擦力为 $\mu mg\cos\alpha$。因此，物体沿斜面下滑的加速度 $a$ 为：
$$
a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)
$$
步骤 2：计算物体沿斜面下滑的时间
物体沿斜面下滑的距离为 $l$，初速度为 $0$，加速度为 $a$。根据运动学公式，物体沿斜面下滑的时间 $t$ 为：
$$
t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}}
$$
步骤 3：求解使时间最短的 $\alpha$ 值
为了使时间 $t$ 最短，需要使分母 $g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ 最大。对 $\sin\alpha - \mu\cos\alpha$ 求导，令导数为 $0$，得到：
$$
\cos\alpha + \mu\sin\alpha = 0
$$
解得：
$$
\tan\alpha = -\frac{1}{\mu}
$$
代入 $\mu = 0.14$，得到：
$$
\tan\alpha = -\frac{1}{0.14} \approx -7.14
$$
因此，$\alpha \approx 49^\circ$。
步骤 4：计算最短时间
将 $\alpha = 49^\circ$ 代入时间公式，得到：
$$
t = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.1}{9.8(\sin49^\circ - 0.14\cos49^\circ)}} \approx 0.99s
$$
物体沿斜面下滑时，受到重力和摩擦力的作用。重力沿斜面的分量为 $mg\sin\alpha$，摩擦力为 $\mu mg\cos\alpha$。因此，物体沿斜面下滑的加速度 $a$ 为：
$$
a = g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)
$$
步骤 2：计算物体沿斜面下滑的时间
物体沿斜面下滑的距离为 $l$，初速度为 $0$，加速度为 $a$。根据运动学公式，物体沿斜面下滑的时间 $t$ 为：
$$
t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}}
$$
步骤 3：求解使时间最短的 $\alpha$ 值
为了使时间 $t$ 最短，需要使分母 $g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)$ 最大。对 $\sin\alpha - \mu\cos\alpha$ 求导，令导数为 $0$，得到：
$$
\cos\alpha + \mu\sin\alpha = 0
$$
解得：
$$
\tan\alpha = -\frac{1}{\mu}
$$
代入 $\mu = 0.14$，得到：
$$
\tan\alpha = -\frac{1}{0.14} \approx -7.14
$$
因此，$\alpha \approx 49^\circ$。
步骤 4：计算最短时间
将 $\alpha = 49^\circ$ 代入时间公式，得到：
$$
t = \sqrt{\frac{2l}{g(\sin\alpha - \mu\cos\alpha)}} = \sqrt{\frac{2 \times 2.1}{9.8(\sin49^\circ - 0.14\cos49^\circ)}} \approx 0.99s
$$