B3.7 求解下列非齐次线性方程组 ) 2x+y-z+w=1, 4x+2y-2z+w=2 2x+y-z-w=1 . ,的通解.

步骤 1：将方程组写成增广矩阵形式
将方程组 $\left \{ \begin{matrix} 2x+y-z+w=1,\\ 4x+2y-2z+w=2\\ 2x+y-z-w=1\end{matrix} \right.$ 写成增广矩阵形式，得到
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
4 & 2 & -2 & 1 & 2 \\
2 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right]
$$
步骤 2：进行初等行变换化简矩阵
对增广矩阵进行初等行变换，化简为阶梯形矩阵。首先，将第一行乘以2，然后从第二行中减去第一行，得到
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
2 & 1 & -1 & -1 & 1
\end{array}\right]
$$
然后，将第一行从第三行中减去，得到
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -2 & 0
\end{array}\right]
$$
最后，将第二行乘以2，然后从第三行中减去第二行，得到
$$
\left[\begin{array}{cccc|c}
2 & 1 & -1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
步骤 3：求解方程组
从化简后的矩阵中，我们可以得到方程组
$$
\left \{ \begin{matrix} 2x+y-z+w=1,\\ -w=0\\ 0=0\end{matrix} \right.
$$
由此，我们可以得到 $w=0$，而 $x,y,z$ 是自由变量。因此，方程组的通解为
$$
\left (\begin{matrix} x\\ y\\ z\\ w\end{matrix} ) \right.$ $={k}_{1}$ $\left (\begin{matrix} -1\\ 2\\ 1\\ 0\end{matrix} ) \right.$ $+{k}_{2}$ $\left (\begin{matrix} 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{matrix} ) \right.$ $+\left (\begin{matrix} 1/2\\ 0\\ 0\\ 0\end{matrix} ) \right.$
其中，${k}_{1},{k}_{2}\in R$。