题目
若点P是曲线y=({x)^2}-ln x上任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离为 ．
若点$P$是曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$上任意一点，则点$P$到直线$y=x-2$的最小距离为 ．
题目解答
答案
$\sqrt{2}$
解析
步骤 1：求曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$的导数
曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$的导数为$y'=2x-\frac{1}{x}$，这是曲线在任意点$x$处的斜率。
步骤 2：找到与直线$y=x-2$平行的曲线的切线
直线$y=x-2$的斜率为$1$，因此我们需要找到曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$上斜率为$1$的点。为此，我们设置$y'=1$，即$2x-\frac{1}{x}=1$，解这个方程找到$x$的值。
步骤 3：解方程$2x-\frac{1}{x}=1$
将方程$2x-\frac{1}{x}=1$两边乘以$x$，得到$2x^2-x-1=0$。这是一个二次方程，解这个方程得到$x$的值。解得$x=1$或$x=-\frac{1}{2}$，但$x=-\frac{1}{2}$不在定义域内，因此$x=1$。
步骤 4：计算点$P$的坐标
将$x=1$代入曲线方程$y={{x}^{2}}-\ln x$，得到$y=1-\ln 1=1$。因此，点$P$的坐标为$(1,1)$。
步骤 5：计算点$P$到直线$y=x-2$的距离
点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中$(x_0,y_0)$是点的坐标，$Ax+By+C=0$是直线的方程。将点$P(1,1)$和直线$y=x-2$（即$x-y-2=0$）代入公式，得到$d=\frac{|1-1-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。
曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$的导数为$y'=2x-\frac{1}{x}$，这是曲线在任意点$x$处的斜率。
步骤 2：找到与直线$y=x-2$平行的曲线的切线
直线$y=x-2$的斜率为$1$，因此我们需要找到曲线$y={{x}^{2}}-\ln x$上斜率为$1$的点。为此，我们设置$y'=1$，即$2x-\frac{1}{x}=1$，解这个方程找到$x$的值。
步骤 3：解方程$2x-\frac{1}{x}=1$
将方程$2x-\frac{1}{x}=1$两边乘以$x$，得到$2x^2-x-1=0$。这是一个二次方程，解这个方程得到$x$的值。解得$x=1$或$x=-\frac{1}{2}$，但$x=-\frac{1}{2}$不在定义域内，因此$x=1$。
步骤 4：计算点$P$的坐标
将$x=1$代入曲线方程$y={{x}^{2}}-\ln x$，得到$y=1-\ln 1=1$。因此，点$P$的坐标为$(1,1)$。
步骤 5：计算点$P$到直线$y=x-2$的距离
点到直线的距离公式为$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$，其中$(x_0,y_0)$是点的坐标，$Ax+By+C=0$是直线的方程。将点$P(1,1)$和直线$y=x-2$（即$x-y-2=0$）代入公式，得到$d=\frac{|1-1-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。