题目
求函数=sqrt (-{x)^2+5x-6}+arcsin dfrac ({x)^2-1}(3)的定义域。
求函数
的定义域。
题目解答
答案
解：根据题意可得函数，
要使函数y有意义，
即需使函数y的定义域满足，
，
且-1≤
≤1,
化简即得(x-2)(x-3)≤0且-3≤
≤3.
即得2≤x≤3且-2≤x≤2.
对上述不等式取交集，即得
x=2，
故得函数y的定义域为{x|x=3}。
解析
步骤 1：确定根号内表达式的非负条件
函数$y=\sqrt {-{x}^{2}+5x-6}+\arcsin \dfrac {{x}^{2}-1}{3}$中，根号内的表达式$-{x}^{2}+5x-6$必须非负，即$-{x}^{2}+5x-6\geqslant 0$。解这个不等式，我们得到$(x-2)(x-3)\leqslant 0$，从而得出$2\leqslant x\leqslant 3$。
步骤 2：确定arcsin函数的定义域条件
函数$y=\sqrt {-{x}^{2}+5x-6}+\arcsin \dfrac {{x}^{2}-1}{3}$中，arcsin函数的参数$\dfrac {{x}^{2}-1}{3}$必须在[-1, 1]区间内，即$-1\leqslant \dfrac {{x}^{2}-1}{3}\leqslant 1$。解这个不等式，我们得到$-2\leqslant x\leqslant 2$。
步骤 3：求交集
将步骤1和步骤2得到的条件取交集，即$2\leqslant x\leqslant 3$与$-2\leqslant x\leqslant 2$的交集，得到$x=2$。
函数$y=\sqrt {-{x}^{2}+5x-6}+\arcsin \dfrac {{x}^{2}-1}{3}$中，根号内的表达式$-{x}^{2}+5x-6$必须非负，即$-{x}^{2}+5x-6\geqslant 0$。解这个不等式，我们得到$(x-2)(x-3)\leqslant 0$，从而得出$2\leqslant x\leqslant 3$。
步骤 2：确定arcsin函数的定义域条件
函数$y=\sqrt {-{x}^{2}+5x-6}+\arcsin \dfrac {{x}^{2}-1}{3}$中，arcsin函数的参数$\dfrac {{x}^{2}-1}{3}$必须在[-1, 1]区间内，即$-1\leqslant \dfrac {{x}^{2}-1}{3}\leqslant 1$。解这个不等式，我们得到$-2\leqslant x\leqslant 2$。
步骤 3：求交集
将步骤1和步骤2得到的条件取交集，即$2\leqslant x\leqslant 3$与$-2\leqslant x\leqslant 2$的交集，得到$x=2$。