题目

1.积分int_(0)^1dxint_(x)^1e^-y^(2)dy的值是____

1.积分$\int_{0}^{1}dx\int_{x}^{1}e^{-y^{2}}dy$的值是____

题目解答

答案

交换积分次序，原积分变为 \[ \int_{0}^{1}dy\int_{0}^{y}e^{-y^2}dx \] 先对 $x$ 积分得 \[ \int_{0}^{y}e^{-y^2}dx = ye^{-y^2} \] 再对 $y$ 积分，令 $u = -y^2$，则 $du = -2ydy$， \[ \int_{0}^{1}ye^{-y^2}dy = -\frac{1}{2}\int_{0}^{-1}e^udu = \frac{1}{2}(1 - e^{-1}) \] **答案：** \[ \boxed{\frac{1}{2}\left(1 - \frac{1}{e}\right)} \]

解析

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是通过交换积分次序简化计算的能力，以及利用换元法求解定积分的应用。

解题核心思路：

  1. 交换积分次序：原积分区域为 $0 \leq x \leq 1$，$x \leq y \leq 1$，交换后变为 $0 \leq y \leq 1$，$0 \leq x \leq y$，从而将复杂积分转化为易处理形式。
  2. 分步积分：先对 $x$ 积分简化表达式，再对 $y$ 积分时通过换元法求解。

破题关键点：

  • 正确绘制积分区域，明确交换次序后的变量范围。
  • 换元法选择：令 $u = -y^2$，将积分转化为基本指数函数的积分。

交换积分次序：
原积分区域为 $D = \{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1, x \leq y \leq 1\}$。交换次序后，$y$ 的范围为 $0 \leq y \leq 1$，对应的 $x$ 范围为 $0 \leq x \leq y$，因此积分变为：
$\int_{0}^{1} dy \int_{0}^{y} e^{-y^{2}} dx$

对 $x$ 积分：
内层积分 $\int_{0}^{y} e^{-y^{2}} dx$ 中，$e^{-y^{2}}$ 与 $x$ 无关，可直接积分得：
$\int_{0}^{y} e^{-y^{2}} dx = y \cdot e^{-y^{2}}$

对 $y$ 积分：
外层积分变为 $\int_{0}^{1} y e^{-y^{2}} dy$。令 $u = -y^{2}$，则 $du = -2y dy$，即 $y dy = -\frac{1}{2} du$。当 $y = 0$ 时 $u = 0$，$y = 1$ 时 $u = -1$，积分变为：
$\int_{0}^{1} y e^{-y^{2}} dy = -\frac{1}{2} \int_{0}^{-1} e^{u} du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{u} du$

计算定积分：
$\frac{1}{2} \int_{-1}^{0} e^{u} du = \frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{-1}^{0} = \frac{1}{2} \left( 1 - e^{-1} \right)$