题目
设 a_1, a_2 是非齐次线性方程组 Ax = b 的解，beta 是对应的齐次方程组 Ax = 0 的解，则 Ax = b 必有一个解是(）.A. a_1 + a_2B. a_1 - a_2C. (1)/(2)D. beta + (1)/(2)a_1 + (1)/(2)a_2
设 $a_1, a_2$ 是非齐次线性方程组 $Ax = b$ 的解，$\beta$ 是对应的齐次方程组 $Ax = 0$ 的解，则 $Ax = b$ 必有一个解是(）.
A. $a_1 + a_2$
B. $a_1 - a_2$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2$
题目解答
答案
D. $\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2$
解析
步骤 1：分析选项 A
- $A(a_1 + a_2) = Aa_1 + Aa_2 = b + b = 2b \neq b$，因此 $a_1 + a_2$ 不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 2：分析选项 B
- $A(a_1 - a_2) = Aa_1 - Aa_2 = b - b = 0$，因此 $a_1 - a_2$ 是 $Ax = 0$ 的解，不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 3：分析选项 C
- $A(\beta + a_1 + a_2) = A\beta + Aa_1 + Aa_2 = 0 + b + b = 2b \neq b$，因此 $\beta + a_1 + a_2$ 不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 4：分析选项 D
- $A\left(\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2\right) = A\beta + \frac{1}{2}Aa_1 + \frac{1}{2}Aa_2 = 0 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b = b$，因此 $\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2$ 是 $Ax = b$ 的解。
- $A(a_1 + a_2) = Aa_1 + Aa_2 = b + b = 2b \neq b$，因此 $a_1 + a_2$ 不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 2：分析选项 B
- $A(a_1 - a_2) = Aa_1 - Aa_2 = b - b = 0$，因此 $a_1 - a_2$ 是 $Ax = 0$ 的解，不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 3：分析选项 C
- $A(\beta + a_1 + a_2) = A\beta + Aa_1 + Aa_2 = 0 + b + b = 2b \neq b$，因此 $\beta + a_1 + a_2$ 不是 $Ax = b$ 的解。
步骤 4：分析选项 D
- $A\left(\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2\right) = A\beta + \frac{1}{2}Aa_1 + \frac{1}{2}Aa_2 = 0 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{2}b = b$，因此 $\beta + \frac{1}{2}a_1 + \frac{1}{2}a_2$ 是 $Ax = b$ 的解。