题目

16.(填空题，5.0分)设L:x^2+y^2=1取顺时针方向，则(1)/(pi)int_(L)(3xy^4+x^3y^2)dy-(3x^4y+x^2y^3)dx=____.

16.(填空题，5.0分) 设$L:x^{2}+y^{2}=1$取顺时针方向，则$\frac{1}{\pi}\int_{L}(3xy^{4}+x^{3}y^{2})dy-(3x^{4}y+x^{2}y^{3})dx=$____.

题目解答

答案

设 $P = -(3x^4y + x^2y^3)$，$Q = 3xy^4 + x^3y^2$，则 \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 3y^4 + 3x^2y^2, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -3x^4 - 3x^2y^2. \] 由格林公式（注意顺时针方向）， \[ \int_L Pdx + Qdy = -\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dA = -\iint_D 3(x^2 + y^2)^2 dA. \] 转换为极坐标， \[ \iint_D 3r^4 \cdot r \, dr \, d\theta = \int_0^{2\pi} \int_0^1 3r^5 \, dr \, d\theta = \pi. \] 故原积分值为 \[ \frac{1}{\pi} \cdot (-\pi) = -1. \] 答案：$\boxed{-1}$

解析

本题考查格林公式的应用，需注意曲线方向对积分符号的影响。解题核心在于：

  1. 识别积分形式，将原式整理为$\int_L Pdx + Qdy$；
  2. 计算偏导数$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$；
  3. 应用格林公式，注意顺时针方向需取负号；
  4. 极坐标变换简化二重积分计算。

步骤1：整理积分形式

原积分可表示为：
$\int_{L} (3xy^{4} + x^{3}y^{2})dy - (3x^{4}y + x^{2}y^{3})dx$
对应：
$P = -(3x^{4}y + x^{2}y^{3}), \quad Q = 3xy^{4} + x^{3}y^{2}$

步骤2：计算偏导数

  • $\frac{\partial Q}{\partial x} = 3y^{4} + 3x^{2}y^{2}$
  • $\frac{\partial P}{\partial y} = -3x^{4} - 3x^{2}y^{2}$

步骤3：应用格林公式

因曲线$L$为顺时针方向，格林公式需取负号：
$\int_{L} Pdx + Qdy = -\iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dA$
代入偏导数：
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3(x^{2} + y^{2})^{2}$

步骤4：极坐标变换

积分区域$D$为单位圆，转换为极坐标：
$\iint_{D} 3(x^{2} + y^{2})^{2} dA = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} 3r^{4} \cdot r \, dr \, d\theta = 3 \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{1} r^{5} \, dr = \pi$

步骤5：计算最终结果

原积分值为：
$\frac{1}{\pi} \cdot (-\pi) = -1$