证明 厄米算符的平均值都是实数（在任意态）[证] 由厄米算符的定义int psi^* hat(F) psi dtau = int (hat(F) psi)^* psi dtau

由厄米算符的定义，对于任意态 $\psi$，有
$\int \psi^* \hat{F} \psi \, d\tau = \int (\hat{F} \psi)^* \psi \, d\tau$
厄米算符的平均值为
$\langle \hat{F} \rangle = \int \psi^* \hat{F} \psi \, d\tau$
取复共轭得
$\langle \hat{F} \rangle^* = \left( \int \psi^* \hat{F} \psi \, d\tau \right)^* = \int \psi (\hat{F} \psi)^* \, d\tau$
根据厄米算符性质，上式等于
$\int (\hat{F} \psi)^* \psi \, d\tau = \int \psi^* \hat{F} \psi \, d\tau = \langle \hat{F} \rangle$
因此，$\langle \hat{F} \rangle^* = \langle \hat{F} \rangle$，即平均值为实数。

结论： 厄米算符的平均值在任意态下均为实数。
$\boxed{\text{厄米算符的平均值都是实数（在任意态）}}$