题目
质量为m的质点在变力F=F0 (1-kt)(F、k为常量)作用下沿ox轴作直线运动。若t =0时,质点在坐标原点,速度为v,则质点运动微分方程为 ;速度随时间变化规律为v = ;质点运动学方程x = 。.
质量为m的质点在变力F=F0 (1-kt)(F、k为常量)作用下沿ox轴作直线运动。若t =0时,质点在坐标原点,速度为v,则质点运动微分方程为 ;速度随时间变化规律为v = ;质点运动学方程x = 。
.题目解答
答案
答案:
;
;
。
解: (1)
,所以,微分方程为:
(2)
所以,速度为:
(3)
运动方程为: 
解析
步骤 1：确定质点运动微分方程
根据牛顿第二定律，质点的加速度等于作用力除以质量。因此，质点的运动微分方程为：
$$
m\frac{d^2x}{dt^2} = F_0(1-kt)
$$
步骤 2：求解速度随时间变化规律
对上式两边同时积分，得到速度随时间变化的规律：
$$
\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} \frac{F_0}{m}(1-kt) dt
$$
$$
v - v_0 = \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right)
$$
$$
v = v_0 + \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right)
$$
步骤 3：求解质点运动学方程
对速度随时间变化的规律再次积分，得到质点的运动学方程：
$$
\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} \left( v_0 + \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right) \right) dt
$$
$$
x = v_0t + \frac{F_0}{2m} \left( t^2 - \frac{1}{3}kt^3 \right)
$$
根据牛顿第二定律，质点的加速度等于作用力除以质量。因此，质点的运动微分方程为：
$$
m\frac{d^2x}{dt^2} = F_0(1-kt)
$$
步骤 2：求解速度随时间变化规律
对上式两边同时积分，得到速度随时间变化的规律：
$$
\int_{v_0}^{v} dv = \int_{0}^{t} \frac{F_0}{m}(1-kt) dt
$$
$$
v - v_0 = \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right)
$$
$$
v = v_0 + \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right)
$$
步骤 3：求解质点运动学方程
对速度随时间变化的规律再次积分，得到质点的运动学方程：
$$
\int_{0}^{x} dx = \int_{0}^{t} \left( v_0 + \frac{F_0}{m} \left( t - \frac{1}{2}kt^2 \right) \right) dt
$$
$$
x = v_0t + \frac{F_0}{2m} \left( t^2 - \frac{1}{3}kt^3 \right)
$$