5. (2.0分) [判断题]函数f(x)=(e^2x-1)/(e^x)+1与g(x)=e^x-1是同一函数( )A. 错B. 对

同一函数的判断依据是两个函数的定义域相同且对应法则完全相同。本题需要验证两个函数是否满足这两个条件。

关键点在于化简函数$f(x)$，观察其表达式是否与$g(x)$一致，并确认两者的定义域是否一致。特别注意分式化简后是否隐含定义域的变化。

1. 化简$f(x)$
   分子$e^{2x} - 1$可分解为$(e^x - 1)(e^x + 1)$，分母为$e^x + 1$，因此：
   $f(x) = \frac{(e^x - 1)(e^x + 1)}{e^x + 1} = e^x - 1 \quad (\text{当 } e^x + 1 \neq 0)$

2. 分析定义域

   • 分母$e^x + 1$恒成立：因为$e^x > 0$对所有实数$x$成立，所以$e^x + 1 > 0$，即$f(x)$的定义域为$\mathbb{R}$。
   • $g(x) = e^x - 1$的定义域显然也是$\mathbb{R}$。

3. 结论
   化简后$f(x) = g(x)$，且定义域相同，因此两者是同一函数。