题目
3.求非齐次线性方程组}3x_(1)+4x_(2)+2x_(3)+2x_(4)-2x_(5)=22x_(1)+3x_(2)+x_(3)+x_(4)-3x_(5)=03x_(1)+5x_(2)+x_(3)+x_(4)-7x_(5)=-24x_(1)+5x_(2)+3x_(3)+3x_(4)-x_(5)=4的通解及相应的齐次线性方程组的基础解系.
3.求非齐次线性方程组$\begin{cases}3x_{1}+4x_{2}+2x_{3}+2x_{4}-2x_{5}=2\\2x_{1}+3x_{2}+x_{3}+x_{4}-3x_{5}=0\\3x_{1}+5x_{2}+x_{3}+x_{4}-7x_{5}=-2\\4x_{1}+5x_{2}+3x_{3}+3x_{4}-x_{5}=4\end{cases}$的通解及相应的齐次线性方程组的基础解系.
题目解答
答案
将增广矩阵化简为行最简形：
\[
\left[
\begin{array}{ccccc|c}
1 & 0 & 2 & 2 & 6 & 6 \\
0 & 1 & -1 & -1 & -5 & -4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
解得非齐次方程组通解：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
6 \\
-4 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
k_1
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
+
k_2
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
+
k_3
\begin{pmatrix}
-6 \\
5 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
其中，$k_1, k_2, k_3$ 为任意常数。
齐次方程组基础解系：
\[
\boxed{
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
1 \\
0 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-2 \\
1 \\
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}
-6 \\
5 \\
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}
}
\]
解析
步骤 1：将非齐次线性方程组写成增广矩阵形式
将给定的非齐次线性方程组写成增广矩阵形式，以便进行行变换。
步骤 2：对增广矩阵进行行变换
对增广矩阵进行行变换，化简为行最简形，以便求解。
步骤 3：求解非齐次线性方程组的通解
根据行最简形矩阵，求解非齐次线性方程组的通解。
步骤 4：求解齐次线性方程组的基础解系
根据行最简形矩阵，求解齐次线性方程组的基础解系。
将给定的非齐次线性方程组写成增广矩阵形式，以便进行行变换。
步骤 2：对增广矩阵进行行变换
对增广矩阵进行行变换，化简为行最简形，以便求解。
步骤 3：求解非齐次线性方程组的通解
根据行最简形矩阵，求解非齐次线性方程组的通解。
步骤 4：求解齐次线性方程组的基础解系
根据行最简形矩阵，求解齐次线性方程组的基础解系。