题目
4.一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.
4.一口袋中有5个乒乓球，编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数.
题目解答
答案
为了确定随机变量 $X$ 的分布律和分布函数，其中 $X$ 是从编号为1, 2, 3, 4, 5的5个乒乓球中随机取出的3个球中的最大号码，我们可以按照以下步骤进行：
### 步骤1：确定 $X$ 的可能值
由于 $X$ 是取出的3个球中的最大号码，$X$ 的可能值为3, 4, 和5。$X$ 不能是1或2，因为取出的球有3个，而没有足够的球比1或2小。
### 步骤2：计算每个 $X$ 值的概率
#### 当 $X = 3$ 时：
取出的球必须是 \{1, 2, 3\}。只有一种方法可以做到这一点。
从5个球中选择3个球的总方法数为 $\binom{5}{3} = 10$。
因此，概率为：
\[ P(X = 3) = \frac{1}{10} \]
#### 当 $X = 4$ 时：
取出的球必须是 \{1, 2, 4\}, \{1, 3, 4\}, 或 \{2, 3, 4\}。有3种方法可以做到这一点。
因此，概率为：
\[ P(X = 4) = \frac{3}{10} \]
#### 当 $X = 5$ 时：
取出的球必须是 \{1, 2, 5\}, \{1, 3, 5\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}, \{2, 4, 5\}, 或 \{3, 4, 5\}。有6种方法可以做到这一点。
因此，概率为：
\[ P(X = 5) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
### 步骤3：写出 $X$ 的分布律
$X$ 的分布律为：
\[ \begin{array}{c|c}
X & P(X) \\
\hline
3 & \frac{1}{10} \\
4 & \frac{3}{10} \\
5 & \frac{6}{10} \\
\end{array} \]
### 步骤4：写出 $X$ 的分布函数
分布函数 $F(x)$ 定义为 $F(x) = P(X \leq x)$。因此，我们有：
\[ F(x) = \begin{cases}
0 & \text{如果 } x < 3, \\
\frac{1}{10} & \text{如果 } 3 \leq x < 4, \\
\frac{4}{10} = \frac{2}{5} & \text{如果 } 4 \leq x < 5, \\
1 & \text{如果 } x \geq 5.
\end{cases} \]
### 最终答案
$X$ 的分布律为：
\[ \boxed{\begin{array}{c|c}
X & P(X) \\
\hline
3 & \frac{1}{10} \\
4 & \frac{3}{10} \\
5 & \frac{6}{10} \\
\end{array}} \]
$X$ 的分布函数为：
\[ \boxed{F(x) = \begin{cases}
0 & \text{如果 } x < 3, \\
\frac{1}{10} & \text{如果 } 3 \leq x < 4, \\
\frac{4}{10} = \frac{2}{5} & \text{如果 } 4 \leq x < 5, \\
1 & \text{如果 } x \geq 5.
\end{cases}} \]
解析
考查要点：本题主要考查离散型随机变量的分布律和分布函数的求解，需要理解最大值随机变量的取值规律，并运用组合数计算概率。
解题核心思路：
- 确定随机变量X的可能取值：由于从5个球中取3个，最大号码至少为3，最多为5，因此X的可能取值为3、4、5。
- 计算每个取值对应的概率：对于每个可能的最大值k（k=3,4,5），需计算包含k且另外两个数均小于k的组合数，再除以总组合数$\binom{5}{3}$。
- 构建分布函数：根据分布律，通过累加概率得到分布函数$F(x)$的分段表达式。
破题关键点：
- 组合数的应用：正确计算满足条件的组合数，例如当X=k时，需从1到k-1中选2个数与k组成三元组。
- 分布函数的分段性：明确不同区间内概率的累加结果。
步骤1：确定X的可能取值
从5个球中取3个，最大号码的最小可能为3（如取1,2,3），最大可能为5（如取3,4,5）。因此，X的可能取值为3, 4, 5。
步骤2：计算各取值的概率
总共有$\binom{5}{3} = 10$种取法。
当$X=3$时
必须取1,2,3三个球，仅1种组合：
$P(X=3) = \frac{\binom{2}{2}}{\binom{5}{3}} = \frac{1}{10}$
当$X=4$时
必须包含4，另外两个球从1,2,3中选，共有$\binom{3}{2}=3$种组合：
$P(X=4) = \frac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{3}} = \frac{3}{10}$
当$X=5$时
必须包含5，另外两个球从1,2,3,4中选，共有$\binom{4}{2}=6$种组合：
$P(X=5) = \frac{\binom{4}{2}}{\binom{5}{3}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
步骤3：写出分布律
$\begin{array}{c|c}X & P(X) \\\hline3 & \frac{1}{10} \\4 & \frac{3}{10} \\5 & \frac{6}{10} \\\end{array}$
步骤4：写出分布函数
分布函数$F(x) = P(X \leq x)$的分段表达式：
- 当$x < 3$时，$F(x) = 0$；
- 当$3 \leq x < 4$时，$F(x) = P(X=3) = \frac{1}{10}$；
- 当$4 \leq x < 5$时，$F(x) = P(X \leq 4) = \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10}$；
- 当$x \geq 5$时，$F(x) = 1$。