[题目]求过点 (2,0,-3) 且与直线 ) x-2y+4z-7=0 3x+5y-2z+1=0 . 垂-|||-直的平面方程.

考查要点：本题主要考查空间几何中平面方程的求解，涉及直线方向向量的计算及平面法向量的确定。

解题核心思路：

1. 确定直线方向向量：题目中的直线由两个平面方程联立给出，其方向向量为两平面法向量的叉乘结果。
2. 平面法向量与直线方向向量的关系：由于平面与直线垂直，平面的法向量即为直线的方向向量。
3. 平面方程的构建：利用已知点和法向量，代入平面方程的一般形式即可。

破题关键点：

• 正确计算两平面法向量的叉乘，得到直线的方向向量。
• 代入点坐标时注意符号，确保方程展开正确。

步骤1：求直线的方向向量

给定直线由平面方程联立：
$\begin{cases}x - 2y + 4z - 7 = 0 \\3x + 5y - 2z + 1 = 0\end{cases}$
两平面的法向量分别为 $\vec{n_1} = (1, -2, 4)$ 和 $\vec{n_2} = (3, 5, -2)$。
直线的方向向量 $\vec{s}$ 为 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$，计算如下：
$\vec{s} = \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\1 & -2 & 4 \\3 & 5 & -2\end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(-2) - 4 \cdot 5) - \vec{j}(1 \cdot (-2) - 4 \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 5 - (-2) \cdot 3)$
化简得：
$\vec{s} = (-16, 14, 11)$

步骤2：确定平面方程

平面过点 $(2, 0, -3)$，法向量为 $\vec{n} = (-16, 14, 11)$，平面方程为：
$-16(x - 2) + 14(y - 0) + 11(z + 3) = 0$
展开并整理：
$-16x + 32 + 14y + 11z + 33 = 0 \implies -16x + 14y + 11z + 65 = 0$
将方程两边乘以 $-1$，得标准形式：
$$
16x - 14y - 11z - 65 = 0

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