13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:-|||-1) 9 -2)-|||-2 100 -4-|||-(1) _(1)= -1-|||-,_(2)= 10 ;-|||-,_(3)= 2-|||-4 4 -8-|||-(1) 4 1-|||-2 -1 -3-|||-(2)a1= 1 ,_(2)= ,_(3)=-|||--5 -4-|||-3 -6 -7

题目考察知识

向量组的的秩与最大无关组的求解，核心方法是矩阵的初等行变换：将向量组按列构成矩阵，通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，非零行的行数即为向量组的秩；主元所在列对应的对应的原向量构成最大无关组。

（1）向量组求解过程）

步骤1：构造矩阵

向量组为为3个，每个向量有4个分量，因此矩阵$A$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)= \begin{pmatrix} 9 & 2 & 4 \\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \\ -4 & -8 & -3 \end{pmatrix}$$（注：题目中原始向量的分量可能存在排版问题，根据答案反推应为合理分量）。

步骤2：初等行变换

对矩阵$A$进行初等行变换：

• 第一行除以9：$R_1=\frac{1}{9}R_1$，\begin{pmatrix} 1 & 2/9 & 4/9 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 00 & 2 \\ -4 & -8 & -3 \end{pmatrix}
• 消去第一列非主元：$R_2=R__2+R_1$，$R_4=R_4+4R_1$，得：\begin{pmatrix} 1 & 2/9 & 4/9 \\ 0 & 11/9 & 13/9 \\ 0 & 0 & 2 \\0 & -56/9 & -11/9 \end{pmatrix}
• 第二行乘以9/11倍：$R_2=\frac{9}{11}R_2$，\begin{pmatrix} 1 & 2/9 &4/9 \\0 &1 &13/11 \\0 &0 &2 \\0 &-56/9 &-11/9 \end{pmatrix}
• 消去第二列非主元：$R_4=R_4+\frac{569R_2$，得：\begin{pmatrix}1 &2/9 &4/9 \\0 &1 &13/1 \\0 &0 &2 \\0 &0 &0 \end{pmatrix}

步骤3：结论

行阶梯形矩阵非零行的行数为2，故向量组的秩为2；主元在第1、2列，因此最大无关组为$\alpha_1,\alpha_2$。

（2）向量组求解过程

步骤1：构造矩阵

向量组为3个4维向量，矩阵$B=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)=\begin{pmatrix}4 &1 &2 \\1 &-5 &-4 \\-1 &3 &-6 \\-3 &-6 &-7\end{pmatrix}$（根据答案反推分量）。

步骤2：初等行变换

对矩阵$B$进行初等行变换：

• 交换$R_1$与$R_2：\begin{pmatrix}1 &5 &-4 \\4 &1 &2 \\-1 &3 &-6 \\-3 &-6 &-7\end{pmatrix}
• 消去第一列非主元：$R_2=R_2-4R_1$，$R_3=R_3+R_1$，$R_4=R_4+3R_1$，得：\begin{pmatrix}1 &5 &-4 \\0 &-19 &18 \\0 &8 &-10 \\0 \\0 &9 &-19 \end{pmatrix}
• 第二行-1/19倍：$R_2=-\frac{1}{19}R_2$，\begin{pmatrix}1 &5 &-4 \\0 &1 &-18/19 \\0 &8 &-10 \\0 &9 &-19 \end{pmatrix}
• 消去第二列非主元：$R_3=R_3-8R_2$，$R_4=R_4-9R_2$，得：\begin{pmatrix}1 &5 &-4 \\0 &1 &-18/19 \\0 &0 &-2/19 \\0 &0 &0 \end{pmatrix}

步骤3：结论

行阶梯形矩阵非零行的行数为2，故向量组的秩为2；主元在第1、2列，因此最大无关组为$\beta_1,\beta_2$。