题目
设随机变量X服从二项分布B(4,p)，且PXgeqslant 1=(65)/(81)，则p=_____。
设随机变量X服从二项分布$B(4,p)$，且$P\{X\geqslant 1\}=$$\frac{65}{81}$，则$p=$_____。
题目解答
答案
$\frac{1}{3}$
解析
步骤 1：理解二项分布的概率公式
二项分布$B(n,p)$的概率质量函数为$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，其中$C_n^k$是组合数，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数。
步骤 2：计算$P\{X\geqslant 1\}$
$P\{X\geqslant 1\} = 1 - P\{X=0\} = 1 - C_4^0 p^0 (1-p)^4 = 1 - (1-p)^4$。
步骤 3：根据题目条件求解$p$
根据题目条件$P\{X\geqslant 1\} = \frac{65}{81}$，代入步骤2中的公式，得到$1 - (1-p)^4 = \frac{65}{81}$，解得$(1-p)^4 = \frac{16}{81}$，进一步得到$1-p = \frac{2}{3}$，从而$p = \frac{1}{3}$。
二项分布$B(n,p)$的概率质量函数为$P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$，其中$C_n^k$是组合数，表示从$n$个不同元素中取出$k$个元素的组合数。
步骤 2：计算$P\{X\geqslant 1\}$
$P\{X\geqslant 1\} = 1 - P\{X=0\} = 1 - C_4^0 p^0 (1-p)^4 = 1 - (1-p)^4$。
步骤 3：根据题目条件求解$p$
根据题目条件$P\{X\geqslant 1\} = \frac{65}{81}$，代入步骤2中的公式，得到$1 - (1-p)^4 = \frac{65}{81}$，解得$(1-p)^4 = \frac{16}{81}$，进一步得到$1-p = \frac{2}{3}$，从而$p = \frac{1}{3}$。