题目
曲线 :x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t在 :x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t处的切线与法平面方程分别是 ( )A 切线:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t法平面:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3tB切线:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t法平面 ; :x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3tC切线:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t法平面:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t D切线:x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t法平面 :x=(e)^t+cos t ,y=2sin t+cos t,z=1+(e)^3t
曲线 
在 
处的切线与法平面方程分别是 ( )
A 切线
法平面
B切线
法平面 ; 
C切线
法平面
D切线
法平面
题目解答
答案
答案选：A
根据题目已知：曲线
将t=0代入：
即点（2,1,2）
再分别对t求导：
再将t=0代入上式：
即得曲线的切向量为：（1,2,3）
求曲线在一点处的切线可用点向式得：切线为
求曲线在一点处的法平面可用点法式得：
故本题答案选A
解析
步骤 1：确定曲线在给定点的坐标
将 $t=0$ 代入曲线方程 $x={e}^{t}+\cos t$, $y=2\sin t+\cos t$, $z=1+{e}^{3t}$，得到：
$x={e}^{0}+\cos 0=2$, $y=2\sin 0+\cos 0=1$, $z=1+{e}^{0}=2$
因此，曲线在 $t=0$ 处的坐标为 $(2,1,2)$。
步骤 2：计算曲线在给定点的切向量
对曲线方程分别对 $t$ 求导，得到：
${x}_{t}={e}^{t}-\sin t$, ${y}_{t}=2\cos t-\sin t$, ${z}_{t}=3{e}^{3t}$
将 $t=0$ 代入上述导数，得到：
${x}_{t}={e}^{0}-\sin 0=1$, ${y}_{t}=2\cos 0-\sin 0=2$, ${z}_{t}=3{e}^{0}=3$
因此，曲线在 $t=0$ 处的切向量为 $(1,2,3)$。
步骤 3：写出切线方程和法平面方程
根据点向式，切线方程为：
$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-1}{2}=\dfrac {z-2}{3}$
根据点法式，法平面方程为：
$(x-2)+2(y-1)+3(z-2)=0$
化简得：
$x+2y+3z-10=0$
将 $t=0$ 代入曲线方程 $x={e}^{t}+\cos t$, $y=2\sin t+\cos t$, $z=1+{e}^{3t}$，得到：
$x={e}^{0}+\cos 0=2$, $y=2\sin 0+\cos 0=1$, $z=1+{e}^{0}=2$
因此，曲线在 $t=0$ 处的坐标为 $(2,1,2)$。
步骤 2：计算曲线在给定点的切向量
对曲线方程分别对 $t$ 求导，得到：
${x}_{t}={e}^{t}-\sin t$, ${y}_{t}=2\cos t-\sin t$, ${z}_{t}=3{e}^{3t}$
将 $t=0$ 代入上述导数，得到：
${x}_{t}={e}^{0}-\sin 0=1$, ${y}_{t}=2\cos 0-\sin 0=2$, ${z}_{t}=3{e}^{0}=3$
因此，曲线在 $t=0$ 处的切向量为 $(1,2,3)$。
步骤 3：写出切线方程和法平面方程
根据点向式，切线方程为：
$\dfrac {x-2}{1}=\dfrac {y-1}{2}=\dfrac {z-2}{3}$
根据点法式，法平面方程为：
$(x-2)+2(y-1)+3(z-2)=0$
化简得：
$x+2y+3z-10=0$