题目
20.设随机变量X的分布函数为 F(x)= ) A+B(e)^-2x,xgt 0 0,xleqslant 0 ;-|||-(3)X的密度函数f (x).
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定A的值
由于分布函数F(x)在x趋向于正无穷时应趋向于1，即 $F(+\infty )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\quad A+B{e}^{-2x}=A=1$ ，因此A=1。
步骤 2：确定B的值
由于分布函数F(x)在x=0处应连续，即 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}F(x)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}(1+B{e}^{-2x})=1+B=0$ ，因此B=-1。
步骤 3：计算 $P\{ -1\lt X\lt 1\} $
根据分布函数的定义， $P\{ -1\lt X\lt 1\} =F(1)-F(-1)$ 。由于F(x)在x≤0时为0，因此 $F(-1)=0$ ，而 $F(1)=1-{e}^{-2}$ ，所以 $P\{ -1\lt X\lt 1\} =1-{e}^{-2}$ 。
步骤 4：求X的密度函数f(x)
根据分布函数F(x)的定义，密度函数f(x)是F(x)的导数，即 $f(x)=F'(x)$ 。因此， $f(x)=\left \{ \begin{matrix} 2{e}^{-2x},x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 。
由于分布函数F(x)在x趋向于正无穷时应趋向于1，即 $F(+\infty )=\lim _{x\rightarrow +\infty }\quad A+B{e}^{-2x}=A=1$ ，因此A=1。
步骤 2：确定B的值
由于分布函数F(x)在x=0处应连续，即 $\lim _{x\rightarrow 0^{+}}F(x)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}(1+B{e}^{-2x})=1+B=0$ ，因此B=-1。
步骤 3：计算 $P\{ -1\lt X\lt 1\} $
根据分布函数的定义， $P\{ -1\lt X\lt 1\} =F(1)-F(-1)$ 。由于F(x)在x≤0时为0，因此 $F(-1)=0$ ，而 $F(1)=1-{e}^{-2}$ ，所以 $P\{ -1\lt X\lt 1\} =1-{e}^{-2}$ 。
步骤 4：求X的密度函数f(x)
根据分布函数F(x)的定义，密度函数f(x)是F(x)的导数，即 $f(x)=F'(x)$ 。因此， $f(x)=\left \{ \begin{matrix} 2{e}^{-2x},x\gt 0\\ 0,x\leqslant 0\end{matrix} \right.$ 。