题目
（单选题） 静止质量不为零的微观粒子做高速运动，这时粒子物质波的波长 lambda 与速度 v 有如下关系：A. lambda propto v。B. lambda propto 1/v。C. lambda propto sqrt (Large{(1)/(v^2)-(1)/(c^2))}。D. lambda propto sqrt(c^2-v^2)。
（单选题） 静止质量不为零的微观粒子做高速运动，这时粒子物质波的波长 $\lambda$ 与速度 $v$ 有如下关系：
A. $\lambda \propto v$。
B. $\lambda \propto 1/v$。
C. $\lambda \propto \sqrt {\Large{\frac{1}{v^2}-\frac{1}{c^2}}}$。
D. $\lambda \propto \sqrt{c^2-v^2}$。
题目解答
答案
C. $\lambda \propto \sqrt {\Large{\frac{1}{v^2}-\frac{1}{c^2}}}$。
解析
步骤 1：确定德布罗意波长公式
德布罗意波长公式为 $\lambda = \frac{h}{p}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$p$ 是粒子的动量。对于高速运动的粒子，动量 $p$ 需要使用相对论动量公式 $p = \gamma mv$，其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 是洛伦兹因子，$m$ 是粒子的静止质量，$v$ 是粒子的速度，$c$ 是光速。
步骤 2：将相对论动量公式代入德布罗意波长公式
将 $p = \gamma mv$ 代入 $\lambda = \frac{h}{p}$，得到 $\lambda = \frac{h}{\gamma mv}$。进一步代入 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，得到 $\lambda = \frac{h}{\frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}} = \frac{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{mv}$。
步骤 3：分析波长与速度的关系
从 $\lambda = \frac{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{mv}$ 可以看出，波长 $\lambda$ 与速度 $v$ 的关系是 $\lambda \propto \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。由于 $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{1}{v^2} - \frac{1}{c^2}}$，因此 $\lambda \propto \sqrt{\frac{1}{v^2} - \frac{1}{c^2}}$。
德布罗意波长公式为 $\lambda = \frac{h}{p}$，其中 $h$ 是普朗克常数，$p$ 是粒子的动量。对于高速运动的粒子，动量 $p$ 需要使用相对论动量公式 $p = \gamma mv$，其中 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$ 是洛伦兹因子，$m$ 是粒子的静止质量，$v$ 是粒子的速度，$c$ 是光速。
步骤 2：将相对论动量公式代入德布罗意波长公式
将 $p = \gamma mv$ 代入 $\lambda = \frac{h}{p}$，得到 $\lambda = \frac{h}{\gamma mv}$。进一步代入 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，得到 $\lambda = \frac{h}{\frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}} = \frac{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{mv}$。
步骤 3：分析波长与速度的关系
从 $\lambda = \frac{h\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{mv}$ 可以看出，波长 $\lambda$ 与速度 $v$ 的关系是 $\lambda \propto \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$。由于 $\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \sqrt{\frac{1}{v^2} - \frac{1}{c^2}}$，因此 $\lambda \propto \sqrt{\frac{1}{v^2} - \frac{1}{c^2}}$。