7.求抛物面壳 =dfrac (1)(2)((x)^2+(y)^2)(0leqslant zleqslant 1) 的质量,此壳的面密度为 mu =z .

步骤 1：确定抛物面壳的投影区域
抛物面壳 $z=\dfrac {1}{2}({x}^{2}+{y}^{2})$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为 ${D}_{xy}=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2\} $，因为 $0\leqslant z\leqslant 1$，所以 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 2$。

步骤 2：计算抛物面壳的质量
抛物面壳的质量 $m$ 可以通过积分面密度 $\mu = z$ 乘以面积元素 $dS$ 来计算，即 $m = \iint_{D_{xy}} \mu dS$。由于 $z = \dfrac{1}{2}(x^2 + y^2)$，所以 $\mu = \dfrac{1}{2}(x^2 + y^2)$。面积元素 $dS$ 可以通过 $dS = \sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2} dxdy$ 来计算，其中 $\frac{\partial z}{\partial x} = x$，$\frac{\partial z}{\partial y} = y$，所以 $dS = \sqrt{1 + x^2 + y^2} dxdy$。

步骤 3：转换为极坐标并计算积分
将 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$，代入积分式中，得到 $m = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{\sqrt{2}} r^2 \sqrt{1 + r^2} r dr$。计算积分，得到 $m = \dfrac{\pi}{2} \int_{0}^{\sqrt{2}} (r^2 + 1 - 1) \sqrt{1 + r^2} dr$。进一步计算，得到 $m = \dfrac{\pi}{2} \left[ \dfrac{2}{5}(1 + r^2)^{\frac{5}{2}} - \dfrac{2}{3}(1 + r^2)^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{\sqrt{2}}$。计算结果，得到 $m = \dfrac{2\pi}{15}(6\sqrt{3} - 2)$。