题目

15、填空 设sum_(n=1)^infty(-1)^n-1a_(n)=2，sum_(n=1)^inftya_(2n-1)=5，则（）sum_(n=1)^inftya_(n)= (3分)

15、填空 设$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_{n}=2$，$\sum_{n=1}^{\infty}a_{2n-1}=5$，则（） $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=$ (3分)

题目解答

答案

设 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = 2$，$\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$。 令 $S_{\text{奇}} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1} = 5$，$S_{\text{偶}} = \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}$。 由交错级数和公式： \[ S_{\text{奇}} - S_{\text{偶}} = 2 \implies 5 - S_{\text{偶}} = 2 \implies S_{\text{偶}} = 3 \] 总和为： \[ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = S_{\text{奇}} + S_{\text{偶}} = 5 + 3 = 8 \] **答案：** $\boxed{8}$

解析

本题考查无穷级数的基本运算和性质，解题的关键在于理解交错级数与正项级数（这里指奇数项和偶数项构成的级数）之间的关系，通过已知条件建立等式来求解目标级数的值。

  1. 首先，我们设奇数项构成的级数和为$S_{奇}$，偶数项构成的级数和为$S_{偶}$，即$S_{奇}=\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n - 1}$，$S_{偶}=\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n}$。
  2. 已知$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}=2$，根据交错级数的展开形式$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}=a_{1}-a_{2}+a_{3}-a_{4}+\cdots$，可以发现它等于奇数项级数和减去偶数项级数和，即$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n - 1}a_{n}=S_{奇}-S_{偶}$。
  3. 又已知$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{2n - 1}=5$，也就是$S_{奇}=5$。
  4. 将$S_{奇}=5$代入$S_{奇}-S_{偶}=2$中，得到$5 - S_{偶}=2$。
  5. 求解上述方程：
    • 移项可得$S_{偶}=5 - 2$。
    • 计算得出$S_{偶}=3$。
  6. 最后求$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$，根据级数的性质，$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}$等于奇数项级数和加上偶数项级数和，即$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}=S_{奇}+S_{偶}$。
  7. 将$S_{奇}=5$，$S_{偶}=3$代入上式，可得$\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n}=5 + 3=8$。