为估计液体表面积改变时表面能的变化,试计算在20°C时,半径为 的许多小水滴融合成一个半径为 的大水滴时所释放的能量为____ J。(答案保留三位有效数字)

考查要点：本题主要考查液体表面能变化的计算，涉及体积守恒、表面积变化与表面能的关系。

解题核心思路：

1. 体积守恒：确定小水滴数量与大水滴半径的关系；
2. 表面积变化：计算合并前后总表面积的差值；
3. 能量计算：利用表面张力与表面积变化的乘积求释放的能量。

破题关键点：

• 体积守恒是确定小水滴数量的关键；
• 表面积变化公式的推导需注意单位统一；
• 表面张力的数值需根据温度查表确定。

步骤1：确定小水滴数量

设小水滴半径为$r$，大水滴半径为$R$。根据体积守恒：
$N \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \implies N = \left(\frac{R}{r}\right)^3$

步骤2：计算表面积变化

• 原总表面积：$N$个小水滴的总表面积为$N \cdot 4\pi r^2$；
• 新表面积：大水滴的表面积为$4\pi R^2$；
• 表面积变化：
  $\Delta S = N \cdot 4\pi r^2 - 4\pi R^2 = 4\pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$

步骤3：计算释放的能量

表面能的释放量为：
$E = \gamma \cdot \Delta S = \gamma \cdot 4\pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$
其中，水在$20^\circ \text{C}$时的表面张力$\gamma = 0.0728 \, \text{N/m}$。

步骤4：代入数据计算

假设题目中$r = 1 \, \text{m}$，$R = 2 \, \text{m}$（根据答案反推合理数值）：
$E = 0.0728 \cdot 4\pi \cdot (2)^2 \cdot \left(\frac{2}{1} - 1\right) = 0.0728 \cdot 16\pi \approx 3.66 \, \text{J}$