7. D由y^2=(9)/(2)x与直线x=2围成，则均匀薄片D绕x轴的转动惯量I_(x)=( ). bigcircA. 72ρ.B. (36)/(5)ρ;C. (144)/(5)ρ;D. (72)/(5)ρ;

考查要点：本题主要考查二重积分在转动惯量中的应用，涉及积分区域的确定、积分次序的选择以及对称性的利用。

解题核心思路：

1. 确定积分区域：由抛物线$y^2 = \frac{9}{2}x$和直线$x=2$围成的区域$D$，需转化为$x$和$y$的范围。
2. 建立积分表达式：利用转动惯量公式$I_x = \iint_D \rho y^2 \, dA$，选择合适的积分次序。
3. 简化计算：通过积分次序的选择和对称性（偶函数性质）减少计算量。

破题关键点：

• 积分区域的转换：将抛物线方程变形为$x = \frac{2}{9}y^2$，确定$x$的范围。
• 对称性应用：被积函数$y^2$和$y^4$均为偶函数，积分区间对称时可简化为单边积分。

步骤1：确定积分区域

抛物线$y^2 = \frac{9}{2}x$可变形为$x = \frac{2}{9}y^2$。当$x=2$时，解得$y = \pm 3$。因此，区域$D$可表示为：
$D = \left\{ (x, y) \mid \frac{2}{9}y^2 \leq x \leq 2, \, -3 \leq y \leq 3 \right\}$

步骤2：建立积分表达式

转动惯量公式为：
$I_x = \iint_D \rho y^2 \, dA$
选择先对$x$积分，再对$y$积分，得：
$I_x = \rho \int_{-3}^{3} \int_{\frac{2}{9}y^2}^{2} y^2 \, dx \, dy$

步骤3：计算内层积分（对$x$积分）

$\int_{\frac{2}{9}y^2}^{2} y^2 \, dx = y^2 \left( 2 - \frac{2}{9}y^2 \right) = 2y^2 - \frac{2}{9}y^4$

步骤4：计算外层积分（对$y$积分）

利用对称性，将积分区间从$-3$到$3$简化为$0$到$3$的两倍：
$I_x = \rho \cdot 2 \int_{0}^{3} \left( 2y^2 - \frac{2}{9}y^4 \right) \, dy$

步骤5：逐项积分

1. 第一项积分：
   $\int_{0}^{3} 2y^2 \, dy = 2 \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_0^3 = 2 \cdot \frac{27}{3} = 18$

2. 第二项积分：
   $\int_{0}^{3} \frac{2}{9}y^4 \, dy = \frac{2}{9} \cdot \left[ \frac{y^5}{5} \right]_0^3 = \frac{2}{9} \cdot \frac{243}{5} = \frac{54}{5}$

步骤6：合并结果

$I_x = \rho \cdot 2 \left( 18 - \frac{54}{5} \right) = \rho \cdot 2 \cdot \frac{36}{5} = \frac{72}{5}\rho$