题目
设 L 是由参数方程 x=2costheta, y=sintheta 给出的曲线段，其中 theta 从 0 变到 pi，则曲线积分 int_(L) xy , dy = ___。A. -(2)/(3)B. -(4)/(3)C. (4)/(3)D. (2)/(3)
设 $L$ 是由参数方程 $x=2\cos\theta, y=\sin\theta$ 给出的曲线段，其中 $\theta$ 从 0 变到 $\pi$，则曲线积分 $\int_{L} xy \, dy = \_\_\_$。
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{4}{3}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
题目解答
答案
C. $\frac{4}{3}$
解析
步骤 1：参数方程代入
将参数方程 $x=2\cos\theta$ 和 $y=\sin\theta$ 代入曲线积分 $\int_{L} xy \, dy$ 中，得到 \[ \int_{L} xy \, dy = \int_{0}^{\pi} (2 \cos \theta)(\sin \theta)(\cos \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} 2 \cos^2 \theta \sin \theta \, d\theta. \]
步骤 2：变量替换
令 $u = \cos \theta$，则 $du = -\sin \theta \, d\theta$。当 $\theta$ 从 0 变到 $\pi$ 时，$u$ 从 1 变到 -1。因此，积分变为 \[ \int_{0}^{\pi} 2 \cos^2 \theta \sin \theta \, d\theta = -2 \int_{1}^{-1} u^2 \, du = 2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du. \]
步骤 3：计算积分
计算积分 $2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du$，得到 \[ 2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3}. \]
将参数方程 $x=2\cos\theta$ 和 $y=\sin\theta$ 代入曲线积分 $\int_{L} xy \, dy$ 中，得到 \[ \int_{L} xy \, dy = \int_{0}^{\pi} (2 \cos \theta)(\sin \theta)(\cos \theta) \, d\theta = \int_{0}^{\pi} 2 \cos^2 \theta \sin \theta \, d\theta. \]
步骤 2：变量替换
令 $u = \cos \theta$，则 $du = -\sin \theta \, d\theta$。当 $\theta$ 从 0 变到 $\pi$ 时，$u$ 从 1 变到 -1。因此，积分变为 \[ \int_{0}^{\pi} 2 \cos^2 \theta \sin \theta \, d\theta = -2 \int_{1}^{-1} u^2 \, du = 2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du. \]
步骤 3：计算积分
计算积分 $2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du$，得到 \[ 2 \int_{-1}^{1} u^2 \, du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = \frac{4}{3}. \]