微分方程({y)_(1)(')}-ymathrm(co)tx=0的通解( )A、y=dfrac(c)(sin x)B、y=csin xC、y=dfrac(c)(cos x)D、y=ccos x

考查要点：本题主要考查一阶线性微分方程的解法，特别是可分离变量方程的求解方法。

解题核心思路：将微分方程转化为可分离变量的形式，通过分离变量后分别积分，最终得到通解。

破题关键点：

1. 识别方程类型：方程 $y' - y \cot x = 0$ 可变形为 $\frac{dy}{dx} = y \cot x$，属于可分离变量方程。
2. 分离变量：将方程改写为 $\frac{dy}{y} = \cot x \, dx$。
3. 积分求解：对两边分别积分，注意积分常数的处理。

步骤1：分离变量

将方程 $y' - y \cot x = 0$ 变形为：
$\frac{dy}{dx} = y \cot x$
两边同时除以 $y$ 并乘以 $dx$，得到：
$\frac{dy}{y} = \cot x \, dx$

步骤2：积分求解

对两边分别积分：

• 左边积分：$\int \frac{1}{y} \, dy = \ln |y| + C_1$
• 右边积分：$\int \cot x \, dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} \, dx = \ln |\sin x| + C_2$

合并积分结果：
$\ln |y| = \ln |\sin x| + C$
（其中 $C = C_2 - C_1$ 是常数）

步骤3：化简通解

将等式两边取指数消去对数：
$|y| = e^{\ln |\sin x| + C} = e^C \cdot |\sin x|$
去掉绝对值符号并合并常数，得到通解：
$y = C \sin x$
（其中 $C$ 为任意常数）