6 单选 (10分) 已知向量组alpha_(1)=(1,3,1,-1)^T,alpha_(2)=(2,-1,-1,4)^T,alpha_(3)=(5,1,-1,7)^T,alpha_(4)=(2,6,2,-3)^T,则该向量组的秩是A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查向量组秩的计算，解题思路是将向量组构成矩阵，然后对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵的非零行的行数即为向量组的秩。

步骤一：构造矩阵

将向量组$\alpha_{1}=(1,3,1,-1)^{T}$，$\alpha_{2}=(2,-1,-1,4)^{T}$，$\alpha_{3}=(5,1,-1,7)^{T}$，$\alpha_{4}=(2,6,2,-3)^{T}$构成矩阵$A$：
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 3 & -1 & 1 & 6 \\ 1 & -1 & -1 & 2 \\ -1 & 4 & 7 & -3 \end{pmatrix}\)

步骤二：进行初等行变换

• 第二行减去第一行的$3$倍，第三行减去第一行，第四行加上第一行：
  $r_{2}-3r_{1}$，$r_{3}-r_{1}$，$r_{4}+r_{1}$得到
  \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & -7 & -14 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 12 & -1 \end{pmatrix}\)
• 第二行除以$-7$：
  $r_{2}\div(-7)$得到
  \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -6 & 0 \\ 0 & 6 & 12 & -1 \end{pmatrix}\)
• 第一行减去第二行的$2$倍，第三行加上第二行的$3$倍，第四行减去第二行的$6$倍：
  $r_{1}-2r_{2}$，$r_{3}+3r_{2}$，$r_{4}-6r_{2}$得到
  \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\)
• 交换第三行和第四行：
  $r_{3}\leftrightarrow r_{4}$得到
  \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

步骤三：确定秩

行阶梯形矩阵的非零行有$3$行，所以矩阵$A$的秩为$3$，即向量组的秩为$3$。