题目
4.设 iint sqrt ({a)^2-(x)^2-(y)^2}dxdy=dfrac (16)(3)pi , 其中 :(x)^2+(y)^2leqslant (a)^2, 则a的值为 () .-|||-(A)1 (B)2 (C) sqrt (2) (D) sqrt (3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为极坐标系
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。令 $x=r\cos \theta$ 和 $y=r\sin \theta$，其中 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$ 和 $0\leqslant r\leqslant a$。积分区域 $D$ 在极坐标系下表示为 $0\leqslant r\leqslant a$ 和 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 2：计算积分
在极坐标系下，积分变为 $\iint \sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdrd\theta$。其中，$rdrd\theta$ 是极坐标系下的面积元素。积分可以分解为 $\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{a}\sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdr$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分 $\int_{0}^{a}\sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdr$。令 $u=a^2-r^2$，则 $du=-2rdr$。积分变为 $-\frac{1}{2}\int_{a^2}^{0}\sqrt{u}du$。计算得到 $-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|_{a^2}^{0}=\frac{1}{3}a^3$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分 $\int_{0}^{2\pi}d\theta \times \frac{1}{3}a^3$。得到 $\frac{2\pi}{3}a^3$。
步骤 5：求解a的值
根据题目条件，$\frac{2\pi}{3}a^3=\frac{16}{3}\pi$。解得 $a^3=8$，即 $a=2$。
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。令 $x=r\cos \theta$ 和 $y=r\sin \theta$，其中 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$ 和 $0\leqslant r\leqslant a$。积分区域 $D$ 在极坐标系下表示为 $0\leqslant r\leqslant a$ 和 $0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$。
步骤 2：计算积分
在极坐标系下，积分变为 $\iint \sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdrd\theta$。其中，$rdrd\theta$ 是极坐标系下的面积元素。积分可以分解为 $\int_{0}^{2\pi}d\theta \int_{0}^{a}\sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdr$。
步骤 3：计算内层积分
计算内层积分 $\int_{0}^{a}\sqrt {{a}^{2}-{r}^{2}}rdr$。令 $u=a^2-r^2$，则 $du=-2rdr$。积分变为 $-\frac{1}{2}\int_{a^2}^{0}\sqrt{u}du$。计算得到 $-\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}|_{a^2}^{0}=\frac{1}{3}a^3$。
步骤 4：计算外层积分
计算外层积分 $\int_{0}^{2\pi}d\theta \times \frac{1}{3}a^3$。得到 $\frac{2\pi}{3}a^3$。
步骤 5：求解a的值
根据题目条件，$\frac{2\pi}{3}a^3=\frac{16}{3}\pi$。解得 $a^3=8$，即 $a=2$。