1-21 一质点沿x轴运动,其加速度为 =4t(S1-|||-单位),已知 t=0 时,质点位于 x=10m 处,初速度 =-|||-0.试求其位置和时间的关系式.

考查要点：本题主要考查变加速直线运动中，通过积分法由加速度求解位移表达式的能力，涉及微积分的基本应用。

解题核心思路：

1. 加速度与速度的关系：加速度是速度对时间的导数，因此速度是加速度对时间的积分。
2. 速度与位移的关系：速度是位移对时间的导数，因此位移是速度对时间的积分。
3. 初始条件的应用：通过题目给出的初始条件（t=0时的速度和位移），确定积分常数。

破题关键点：

• 两次积分：先对加速度积分求速度，再对速度积分求位移。
• 积分常数的确定：两次积分后均需利用初始条件代入求解积分常数。

步骤1：由加速度求速度

已知加速度为 $a = 4t$，根据加速度与速度的关系：
$a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$
对两边积分：
$\int \mathrm{d}v = \int 4t \, \mathrm{d}t$
得：
$v = 2t^2 + C$
代入初始条件 $t=0$ 时 $v=0$：
$0 = 2 \cdot 0^2 + C \quad \Rightarrow \quad C = 0$
因此，速度表达式为：
$v = 2t^2$

步骤2：由速度求位移

根据速度与位移的关系：
$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$
对两边积分：
$\int \mathrm{d}x = \int 2t^2 \, \mathrm{d}t$
得：
$x = \frac{2}{3}t^3 + D$
代入初始条件 $t=0$ 时 $x=10$：
$10 = \frac{2}{3} \cdot 0^3 + D \quad \Rightarrow \quad D = 10$
因此，位移表达式为：
$x = \frac{2}{3}t^3 + 10$