题目
设实数a0,a1,···,an满足 _(0)+dfrac ({a)_(1)}(2)+dfrac ({a)_(2)}(3)+... +dfrac ({a)_(n)}(n+1)=0, 证明方程 _(0)+(a)_(1)x+-|||-_(2)(x)^2+... +(a)_(n)(x)^n=0 在(0,1)内至少有一个实根,
题目解答
答案
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数 $F(x)={a}_{0}x+\dfrac {{a}_{1}}{2}{x}^{2}+\dfrac {{a}_{2}}{3}{x}^{3}+\cdots +\dfrac {{a}_{n}}{n+1}{x}^{n+1}$，该函数的导数为 $F'(x)={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+\cdots +{a}_{n}{x}^{n}$，即为原方程。
步骤 2：计算辅助函数在端点的值
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值。显然，$F(0)=0$。根据题目条件，$F(1)={a}_{0}+\dfrac {{a}_{1}}{2}+\dfrac {{a}_{2}}{3}+\cdots +\dfrac {{a}_{n}}{n+1}=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，且 $F(0)=F(1)=0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi)=0$。即方程 ${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+\cdots +{a}_{n}{x}^{n}=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
构造辅助函数 $F(x)={a}_{0}x+\dfrac {{a}_{1}}{2}{x}^{2}+\dfrac {{a}_{2}}{3}{x}^{3}+\cdots +\dfrac {{a}_{n}}{n+1}{x}^{n+1}$，该函数的导数为 $F'(x)={a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+\cdots +{a}_{n}{x}^{n}$，即为原方程。
步骤 2：计算辅助函数在端点的值
计算 $F(0)$ 和 $F(1)$ 的值。显然，$F(0)=0$。根据题目条件，$F(1)={a}_{0}+\dfrac {{a}_{1}}{2}+\dfrac {{a}_{2}}{3}+\cdots +\dfrac {{a}_{n}}{n+1}=0$。
步骤 3：应用罗尔定理
由于 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 上可导，且 $F(0)=F(1)=0$，根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F'(\xi)=0$。即方程 ${a}_{0}+{a}_{1}x+{a}_{2}{x}^{2}+\cdots +{a}_{n}{x}^{n}=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。