某弧形构件形为曲线 L: x^2/3 + y^2/3 = a^2/3 (a > 0) 在第一象限部分，其质量均匀分布于 L 上(线密度为 rho_0 = 1)，该构件的质心坐标是[] A. ((2)/(5)a, (2)/(5)a )B. ((a)/(2), (a)/(2) )C. ((a)/(4), (a)/(4) )D. ((a)/(3), (a)/(3) )

为了找到由曲线 $L: x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ 在第一象限部分构成的构件的质心坐标，我们需要计算质心的 $x$-坐标和 $y$-坐标。由于构件的质量均匀分布，线密度 $\rho_0 = 1$，质心的坐标由以下公式给出： \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_C x \, ds, \quad \bar{y} = \frac{1}{M} \int_C y \, ds \] 其中 $M$ 是构件的总质量，$ds$ 是弧长元素。总质量 $M$ 是曲线的长度，因为线密度为1。首先，我们需要找到曲线的长度。 ### 第一步：找到曲线的长度 曲线 $x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}$ 可以通过以下参数化表示： \[ x = a \cos^3 t, \quad y = a \sin^3 t, \quad 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \] 弧长元素 $ds$ 由以下公式给出： \[ ds = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt \] 首先，我们计算 $\frac{dx}{dt}$ 和 $\frac{dy}{dt}$： \[ \frac{dx}{dt} = -3a \cos^2 t \sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a \sin^2 t \cos t \] 然后， \[ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 = (-3a \cos^2 t \sin t)^2 + (3a \sin^2 t \cos t)^2 = 9a^2 \cos^4 t \sin^2 t + 9a^2 \sin^4 t \cos^2 t = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t) = 9a^2 \cos^2 t \sin^2 t \] 因此， \[ ds = \sqrt{9a^2 \cos^2 t \sin^2 t} \, dt = 3a \cos t \sin t \, dt \] 曲线的长度 $M$ 为： \[ M = \int_0^{\frac{\pi}{2}} ds = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 3a \cos t \sin t \, dt = \frac{3a}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \, dt = \frac{3a}{2} \left[ -\frac{\cos 2t}{2} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{3a}{2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = \frac{3a}{2} \] ### 第二步：找到质心的 $x$-坐标 质心的 $x$-坐标为： \[ \bar{x} = \frac{1}{M} \int_C x \, ds = \frac{2}{3a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} a \cos^3 t \cdot 3a \cos t \sin t \, dt = \frac{2a}{1} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 t \sin t \, dt \] 设 $u = \cos t$，则 $du = -\sin t \, dt$，积分变为： \[ \bar{x} = 2a \int_1^0 u^4 (-du) = 2a \int_0^1 u^4 \, du = 2a \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = 2a \cdot \frac{1}{5} = \frac{2a}{5} \] ### 第三步：找到质心的 $y$-坐标 质心的 $y$-坐标为： \[ \bar{y} = \frac{1}{M} \int_C y \, ds = \frac{2}{3a} \int_0^{\frac{\pi}{2}} a \sin^3 t \cdot 3a \cos t \sin t \, dt = \frac{2a}{1} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^4 t \cos t \, dt \] 设 $u = \sin t$，则 $du = \cos t \, dt$，积分变为： \[ \bar{y} = 2a \int_0^1 u^4 \, du = 2a \left[ \frac{u^5}{5} \right]_0^1 = 2a \cdot \frac{1}{5} = \frac{2a}{5} \] 因此，构件的质心坐标为： \[ \left( \frac{2a}{5}, \frac{2a}{5} \right) \] 正确答案是： \[ \boxed{A} \]