题目
微分方程y'-xy'=a(y 2 +y')是( )。A. 齐次方程B. 可分离变量的方程C. 一阶线性齐次方程D. 一阶线性非齐次方程
微分方程y'-xy'=a(y 2 +y')是( )。
A. 齐次方程
B. 可分离变量的方程
C. 一阶线性齐次方程
D. 一阶线性非齐次方程
题目解答
答案
B. 可分离变量的方程
解析
步骤 1：分析微分方程的形式
微分方程给出为 y' - xy' = a(y^2 + y')。首先，我们观察方程的结构，注意到方程中 y' 项的系数为 1 - x，而右侧为 a(y^2 + y')。这表明方程不是线性的，因为右侧包含 y' 的二次项。
步骤 2：尝试分离变量
为了判断方程是否可分离变量，我们尝试将方程重写为 dy/dx 的形式。原方程可以重写为 dy/dx - x(dy/dx) = a(y^2 + dy/dx)。进一步整理得到 dy/dx(1 - x) = a(y^2 + dy/dx)。将方程两边除以 (1 - x)，得到 dy/dx = a(y^2 + dy/dx)/(1 - x)。这表明方程可以写成 dy/dx = f(y)g(x) 的形式，其中 f(y) = y^2 + dy/dx，g(x) = a/(1 - x)。因此，方程是可分离变量的。
步骤 3：确认方程类型
由于方程可以写成 dy/dx = f(y)g(x) 的形式，因此方程是可分离变量的。这排除了选项 A、C 和 D，因为它们分别对应齐次方程、一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程，而这些方程类型与原方程的结构不符。
微分方程给出为 y' - xy' = a(y^2 + y')。首先，我们观察方程的结构，注意到方程中 y' 项的系数为 1 - x，而右侧为 a(y^2 + y')。这表明方程不是线性的，因为右侧包含 y' 的二次项。
步骤 2：尝试分离变量
为了判断方程是否可分离变量，我们尝试将方程重写为 dy/dx 的形式。原方程可以重写为 dy/dx - x(dy/dx) = a(y^2 + dy/dx)。进一步整理得到 dy/dx(1 - x) = a(y^2 + dy/dx)。将方程两边除以 (1 - x)，得到 dy/dx = a(y^2 + dy/dx)/(1 - x)。这表明方程可以写成 dy/dx = f(y)g(x) 的形式，其中 f(y) = y^2 + dy/dx，g(x) = a/(1 - x)。因此，方程是可分离变量的。
步骤 3：确认方程类型
由于方程可以写成 dy/dx = f(y)g(x) 的形式，因此方程是可分离变量的。这排除了选项 A、C 和 D，因为它们分别对应齐次方程、一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程，而这些方程类型与原方程的结构不符。