（ 14分）在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？

考查要点：本题主要考查利用导数求函数的最大值，涉及实际应用问题的数学建模与优化。

解题核心思路：

1. 建立变量关系：通过设定箱底边长或箱高，建立容积与变量的函数关系式。
2. 求导找极值：对容积函数求导，找到导数为零的点，确定极值位置。
3. 验证最值：结合实际意义分析端点值与极值点，确认最大值。

破题关键点：

• 正确设定变量：明确箱底边长与切割小正方形边长的关系。
• 函数表达式推导：准确表达容积公式并化简。
• 导数计算与临界点分析：通过导数确定极值点，并结合实际排除无效解。

设定变量与建立函数

设箱底边长为 $x$ cm，则切割的小正方形边长为 $h = \dfrac{60 - x}{2}$ cm。箱子的容积为：
$V(x) = x^2 \cdot h = x^2 \cdot \dfrac{60 - x}{2} = \dfrac{60x^2 - x^3}{2} \quad (0 < x < 60)$

求导找极值点

对 $V(x)$ 求导：
$V'(x) = \dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{60x^2 - x^3}{2} \right) = \dfrac{120x - 3x^2}{2} = 60x - \dfrac{3}{2}x^2$
令 $V'(x) = 0$，解得：
$60x - \dfrac{3}{2}x^2 = 0 \implies x \left( 60 - \dfrac{3}{2}x \right) = 0 \implies x = 0 \text{（舍去）或 } x = 40$

验证最大值

当 $x = 40$ 时，箱高 $h = \dfrac{60 - 40}{2} = 10$ cm，容积：
$V(40) = 40^2 \cdot 10 = 16000 \, \text{cm}^3$
实际分析：当 $x$ 接近 $0$ 或 $60$ 时，容积趋近于 $0$，因此 $x = 40$ 为最大值点。