下列极限中，正确的是（ ）A. lim_(x to 0) (1 + tan x)^cot x = eB. lim_(x to 0) x sin (1)/(x) = 1C. lim_(x to 0) (1 + cos x)^sec x = eD. lim_(n to infty) (1 + n)^(1)/(n) = e
下列极限中，正确的是（ ） A. $\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\cot x} = e$ B. $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 1$ C. $\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x} = e$ D. $\lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e$
题目解答
答案
我们来逐项分析这四个极限题目的正确性。目标是判断哪一个极限是正确的。
A. $\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\cot x} = e$
分析：
我们先观察极限的形式：
$\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\cot x}$
令 $ f(x) = (1 + \tan x)^{\cot x} $
当 $ x \to 0 $ 时，$\tan x \to 0$，$\cot x = \frac{1}{\tan x} \to \infty$，所以这是一个 $1^\infty$ 型极限，可以考虑取对数：
$\ln f(x) = \cot x \cdot \ln(1 + \tan x)$
我们使用泰勒展开近似：
- $\tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + \cdots$
- $\cot x = \frac{1}{\tan x} \approx \frac{1}{x} - \frac{x}{3} + \cdots$
- $\ln(1 + \tan x) \approx \tan x - \frac{(\tan x)^2}{2} + \cdots \approx x - \frac{x^2}{2} + \cdots$
代入：
$\ln f(x) \approx \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = 1 - \frac{x}{2} \to 1 \quad \text{当 } x \to 0$
所以：
$\lim_{x \to 0} \ln f(x) = 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} f(x) = e^1 = e$
✅ A 正确
B. $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 1$
分析：
考虑极限：
$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$
我们知道 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时是振荡的（在 $[-1, 1]$ 之间），但被 $x$ 乘后趋于 0：
$|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0 \quad \text{当 } x \to 0$
所以极限是 0，不是 1。
❌ B 错误
C. $\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x} = e$
分析：
考虑：
$\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x}$
当 $x \to 0$ 时：
- $\cos x \to 1$，所以 $1 + \cos x \to 2$
- $\sec x = \frac{1}{\cos x} \to 1$
所以极限变为：
$\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x} \to 2^1 = 2 \ne e$
❌ C 错误
D. $\lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = e$
分析：
考虑：
$\lim_{n \to \infty} (1 + n)^{1/n}$
当 $n \to \infty$，$1 + n \to \infty$，所以：
$(1 + n)^{1/n} \to 1$
因为对于任意固定的 $a > 1$，$a^{1/n} \to 1$，所以极限是 1，不是 $e$。
❌ D 错误
✅ 最终答案：A
总结：
- A 正确
- B 错误
- C 错误
- D 错误
答案： $\boxed{A}$
解析
本题主要考查了不同类型极限的计算，包括 $1^\infty$ 型极限、有界函数与无穷小乘积的极限以及常见函数在特定趋势下的极限。解题思路是根据不同极限的特点，运用相应的方法进行计算和判断。
- 分析选项A：
- 对于极限 $\lim_{x \to 0} (1 + \tan x)^{\cot x}$，当 $x \to 0$ 时，$\tan x \to 0$，$\cot x \to \infty$，此为 $1^\infty$ 型极限。
- 令 $f(x) = (1 + \tan x)^{\cot x}$，对其取对数可得 $\ln f(x) = \cot x \cdot \ln(1 + \tan x)$。
- 利用泰勒展开近似：$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3} + \cdots$，$\cot x = \frac{1}{\tan x} \approx \frac{1}{x} - \frac{x}{3} + \cdots$，$\ln(1 + \tan x) \approx \tan x - \frac{(\tan x)^2}{2} + \cdots \approx x - \frac{x^2}{2} + \cdots$。
- 代入可得：$\ln f(x) \approx \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( x - \frac{x^2}{2} \right) = 1 - \frac{x}{2}$。
- 当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} \ln f(x) = 1$，根据对数函数的连续性，$\lim_{x \to 0} f(x) = e^1 = e$，所以选项A正确。
- 分析选项B：
- 对于极限 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$，因为 $\sin \frac{1}{x}$ 是有界函数，即 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，而当 $x \to 0$ 时，$x$ 是无穷小量。
- 根据有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，可得 $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$，所以 $\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$，选项B错误。
- 分析选项C：
- 对于极限 $\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x}$，当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，则 $1 + \cos x \to 2$，$\sec x = \frac{1}{\cos x} \to 1$。
- 所以 $\lim_{x \to 0} (1 + \cos x)^{\sec x} = 2^1 = 2 \neq e$，选项C错误。
- 分析选项D：
- 对于极限 $\lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}}$，当 $n \to \infty$ 时，$1 + n \to \infty$。
- 对于任意固定的 $a > 1$，有 $\lim_{n \to \infty} a^{\frac{1}{n}} = 1$，所以 $\lim_{n \to \infty} (1 + n)^{\frac{1}{n}} = 1 \neq e$，选项D错误。