题目
设 p(x), q(x), r(x) 是已知函数，且 r(x)neq 0. 若函数 y_1, y_2, y_3 是二阶线性微分方程 y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) 的三个不同解，且 (y_1 - y_2)/(y_2 - y_3) 不是常数，则该方程的通解为(）.A. C_1y_1 + C_2y_3 + y_2B. C_1y_1 + C_2y_2 + y_3C. C_1(y_1 - y_2)+ C_2(y_2 - y_3)+ y_1D. C_1(y_1 - y_2)+ C_2(y_2 - y_3)
设 $p(x)$, $q(x)$, $r(x)$ 是已知函数，且 $r(x)\neq 0$. 若函数 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 是二阶线性微分方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$ 的三个不同解，且 $\frac{y_1 - y_2}{y_2 - y_3}$ 不是常数，则该方程的通解为(）.
A. $C_1y_1 + C_2y_3 + y_2$
B. $C_1y_1 + C_2y_2 + y_3$
C. $C_1(y_1 - y_2)+ C_2(y_2 - y_3)+ y_1$
D. $C_1(y_1 - y_2)+ C_2(y_2 - y_3)$
题目解答
答案
C. $C_1(y_1 - y_2)+ C_2(y_2 - y_3)+ y_1$
解析
步骤 1：构造齐次方程的解
- 由于 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 是非齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$ 的三个不同解，我们可以构造齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的解。
- $y_1 - y_2$ 和 $y_2 - y_3$ 是齐次方程的解，因为它们是两个非齐次方程解的差。
步骤 2：验证线性无关
- 由条件 $\frac{y_1 - y_2}{y_2 - y_3}$ 不是常数，可知 $y_1 - y_2$ 和 $y_2 - y_3$ 线性无关。
步骤 3：构造非齐次方程的通解
- 非齐次方程的通解为齐次方程通解加上非齐次方程特解，即：\[ C_1(y_1 - y_2) + C_2(y_2 - y_3) + y_i \quad (i = 1, 2, 3) \]
- 选项中只有 C 符合该形式，其余选项不符合通解结构。
- 由于 $y_1$, $y_2$, $y_3$ 是非齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x)$ 的三个不同解，我们可以构造齐次方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的解。
- $y_1 - y_2$ 和 $y_2 - y_3$ 是齐次方程的解，因为它们是两个非齐次方程解的差。
步骤 2：验证线性无关
- 由条件 $\frac{y_1 - y_2}{y_2 - y_3}$ 不是常数，可知 $y_1 - y_2$ 和 $y_2 - y_3$ 线性无关。
步骤 3：构造非齐次方程的通解
- 非齐次方程的通解为齐次方程通解加上非齐次方程特解，即：\[ C_1(y_1 - y_2) + C_2(y_2 - y_3) + y_i \quad (i = 1, 2, 3) \]
- 选项中只有 C 符合该形式，其余选项不符合通解结构。