函数 =2(x)^3-2(y)^3+6(x)^2+6(y)^2-18x 的极大值

步骤 1：求偏导数
首先，我们需要对函数 $z=2{x}^{3}-2{y}^{3}+6{x}^{2}+6{y}^{2}-18x$ 求偏导数，以找到可能的极值点。
$\dfrac {\partial z}{\partial x}=6{x}^{2}+12x-18$
$\dfrac {\partial z}{\partial y}=-6{y}^{2}+12y$

步骤 2：解方程组
接下来，我们解方程组 $\dfrac {\partial z}{\partial x}=0$ 和 $\dfrac {\partial z}{\partial y}=0$，以找到可能的极值点。
$6{x}^{2}+12x-18=0$
$-6{y}^{2}+12y=0$
解得：(1,2) (1,0) (-3,2) (-3,0)

步骤 3：计算二阶偏导数
为了判断这些点是否为极值点，我们需要计算二阶偏导数。
$A=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {x}^{2}}=12x+12$
$B=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=0$
$C=\dfrac {{\partial }^{2}z}{\partial {y}^{2}}=-12y+12$

步骤 4：判断极值点
根据二阶偏导数的符号，我们可以判断这些点是否为极值点。
在点(1,0)处，$A=24>0$，$AC-B^2=24*12-0^2=288>0$，所以(1,0)是极大值点。
在点(1,2)处，$A=24>0$，$AC-B^2=24*(-12)-0^2=-288<0$，所以(1,2)不是极值点。
在点(-3,2)处，$A=-24<0$，$AC-B^2=-24*(-12)-0^2=288>0$，所以(-3,2)是极小值点。
在点(-3,0)处，$A=-24<0$，$AC-B^2=-24*12-0^2=-288<0$，所以(-3,0)不是极值点。

步骤 5：计算极大值
最后，我们计算在极大值点(1,0)处的函数值。
$z(1,0)=2*1^3-2*0^3+6*1^2+6*0^2-18*1=-10$