题目
例1 将 iintlimits_(D)f(x,y)dx dy 化为累次积分，其中D由直线 y=x, y=x-2, y=2, y=4 围成。
例1 将 $\iint\limits_{D}f\left(x,y\right)dx\ dy$ 化为累次积分，其中D由直线 $y=x$, $y=x-2$, $y=2$, $y=4$ 围成。
题目解答
答案
为了将二重积分 $\iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy$ 化为累次积分，其中区域 $D$ 由直线 $y=x$, $y=x-2$, $y=2$, 和 $y=4$ 围成，我们需要确定积分的极限。让我们从绘制区域 $D$ 开始。
1. **确定交点：**
- $y = x$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(2, 2)$。
- $y = x$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(4, 4)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(4, 2)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(6, 4)$。
2. **描述区域 $D$：**
区域 $D$ 是一个平行四边形，顶点位于 $(2, 2)$, $(4, 4)$, $(6, 4)$, 和 $(4, 2)$。我们可以将区域 $D$ 描述为 $y$ 的范围从 2 到 4，对于每个 $y$，$x$ 的范围从直线 $y = x$ 到直线 $y = x-2$。但是，由于 $x$ 的范围取决于 $y$，我们需要将 $x$ 的范围表示为 $y$ 的函数：
- 对于 $y = x$，我们有 $x = y$。
- 对于 $y = x-2$，我们有 $x = y+2$。
因此，对于每个 $y$ 从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$。
3. **化二重积分为累次积分：**
二重积分可以化为 $y$ 的范围从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$ 的累次积分：
\[
\iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{2}^{4} \int_{y}^{y+2} f(x,y) \, dx \, dy.
\]
因此，累次积分是：
\[
\boxed{\int_{2}^{4} \int_{y}^{y+2} f(x,y) \, dx \, dy}.
\]
解析
步骤 1：确定交点
- $y = x$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(2, 2)$。
- $y = x$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(4, 4)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(4, 2)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(6, 4)$。
步骤 2：描述区域 $D$
- 区域 $D$ 是一个平行四边形，顶点位于 $(2, 2)$, $(4, 4)$, $(6, 4)$, 和 $(4, 2)$。
- 对于每个 $y$，$x$ 的范围从直线 $y = x$ 到直线 $y = x-2$。
- 对于 $y = x$，我们有 $x = y$。
- 对于 $y = x-2$，我们有 $x = y+2$。
- 因此，对于每个 $y$ 从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$。
步骤 3：化二重积分为累次积分
- 二重积分可以化为 $y$ 的范围从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$ 的累次积分：
\[ \iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{2}^{4} \int_{y}^{y+2} f(x,y) \, dx \, dy. \]
- $y = x$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(2, 2)$。
- $y = x$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(4, 4)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 2$ 的交点是 $(4, 2)$。
- $y = x-2$ 和 $y = 4$ 的交点是 $(6, 4)$。
步骤 2：描述区域 $D$
- 区域 $D$ 是一个平行四边形，顶点位于 $(2, 2)$, $(4, 4)$, $(6, 4)$, 和 $(4, 2)$。
- 对于每个 $y$，$x$ 的范围从直线 $y = x$ 到直线 $y = x-2$。
- 对于 $y = x$，我们有 $x = y$。
- 对于 $y = x-2$，我们有 $x = y+2$。
- 因此，对于每个 $y$ 从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$。
步骤 3：化二重积分为累次积分
- 二重积分可以化为 $y$ 的范围从 2 到 4，$x$ 的范围从 $y$ 到 $y+2$ 的累次积分：
\[ \iint\limits_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{2}^{4} \int_{y}^{y+2} f(x,y) \, dx \, dy. \]