5.12 求下列各积分之值:-|||-(1) (int )_(0)^2pi dfrac (dtheta )(a+cos theta )(agt 1);-|||-(2) (int )_(0)^2pi dfrac (dtheta )(5+3cos theta )-|||-(3)(int )_(-x)^ndfrac ({x)^2}({({x)^2+(a)^2)}^2}dx(agt 0);(4)(int )_(-infty )^+infty dfrac (cos x)({x)^2+4x+5}dx;

考查要点：
本题涉及四类典型积分的计算，涵盖三角函数定积分、有理函数广义积分、含三角函数的广义积分，需综合运用复变函数留数定理、积分公式变形及围道积分技巧。

解题思路：

1. 第（1）题：利用万能代换或复积分法，将三角函数积分转化为有理函数积分，计算留数。
2. 第（2）题：同（1）题方法，直接应用标准积分公式。
3. 第（3）题：通过留数定理计算有理函数的广义积分，注意分母为二阶极点。
4. 第（4）题：将被积函数转化为复指数形式，围道积分计算极点留数后取实部。

第（1）题

关键步骤：

1. 变量代换：令 $t = \tan(\theta/2)$，则 $\cos\theta = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$，$d\theta = \frac{2}{1 + t^2} dt$。
2. 积分变形：原积分转化为 $\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a + \cos\theta} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{2}{(1 + t^2)(a + \frac{1 - t^2}{1 + t^2})} dt$。
3. 化简：整理后得 $\frac{2}{a + 1} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{dt}{t^2 + \left(\sqrt{\frac{a - 1}{a + 1}}\right)^{-2}}$，结果为 $\frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - 1}}$。

第（2）题

关键步骤：
直接应用标准积分公式 $\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{a + b\cos\theta} = \frac{2\pi}{\sqrt{a^2 - b^2}}$，代入 $a = 5$, $b = 3$，得 $\frac{2\pi}{\sqrt{25 - 9}} = \frac{\pi}{2}$。

第（3）题

关键步骤：

1. 围道积分：考虑函数 $f(z) = \frac{z^2}{(z^2 + a^2)^2}$，围道为上半平面大圆弧 $C_R$。
2. 极点分析：分母 $(z^2 + a^2)^2 = 0$ 时，$z = ia$ 为二阶极点。
3. 留数计算：利用公式 $\text{Res}(f, ia) = \lim_{z \to ia} \frac{d}{dz} \left[ (z - ia)^2 f(z) \right]$，计算得 $\text{Res}(f, ia) = -\frac{\pi i}{2a^3}$。
4. 积分结果：由留数定理得 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + a^2)^2} dx = \frac{\pi}{2a}$。

第（4）题

关键步骤：

1. 分母变形：$x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1$，积分转化为 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x}{(x + 2)^2 + 1} dx$。
2. 复积分：考虑 $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ix}}{(x + 2)^2 + 1} dx$，围道积分围住极点 $z = -2 + i$。
3. 留数计算：$\text{Res}(f, -2 + i) = \frac{e^{i(-2 + i)}}{2i}$，积分结果为 $\pi e^{-1} \cos 2$。