题目
求上半球 leqslant zleqslant sqrt ({a)^2-(x)^2-(y)^2} 与圆柱体 ^2+(y)^2leqslant ax(agt 0) 的公共部-|||-分在 xOy 面和xOz面上的投影.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定上半球与圆柱体的交线
上半球的方程为 $0\leqslant z\leqslant \sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$，圆柱体的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant ax$。为了找到它们的交线，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} z=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}\\ {x}^{2}+{y}^{2}=ax\end{matrix} \right.$。将圆柱体方程代入上半球方程，得到 $z=\sqrt {{a}^{2}-ax}$。
步骤 2：确定在xOy面上的投影
上半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影即为圆柱体的投影，即 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant ax$。这个不等式表示一个圆心在 $(\frac{a}{2},0)$，半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆。
步骤 3：确定在xOz面上的投影
上半球与圆柱体的公共部分在xOz面上的投影由x轴、z轴及曲线 $z=\sqrt {{a}^{2}-ax}$ 所围成的区域。这个曲线是上半球与圆柱体交线在xOz面上的投影。
上半球的方程为 $0\leqslant z\leqslant \sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}$，圆柱体的方程为 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant ax$。为了找到它们的交线，我们需要解方程组 $\left \{ \begin{matrix} z=\sqrt {{a}^{2}-{x}^{2}-{y}^{2}}\\ {x}^{2}+{y}^{2}=ax\end{matrix} \right.$。将圆柱体方程代入上半球方程，得到 $z=\sqrt {{a}^{2}-ax}$。
步骤 2：确定在xOy面上的投影
上半球与圆柱体的公共部分在xOy面上的投影即为圆柱体的投影，即 ${x}^{2}+{y}^{2}\leqslant ax$。这个不等式表示一个圆心在 $(\frac{a}{2},0)$，半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆。
步骤 3：确定在xOz面上的投影
上半球与圆柱体的公共部分在xOz面上的投影由x轴、z轴及曲线 $z=\sqrt {{a}^{2}-ax}$ 所围成的区域。这个曲线是上半球与圆柱体交线在xOz面上的投影。