题目
设函数f(x)在区间(a,b)内满足f'(x)0，则在区间(a,b)内()。A. f(x)单调减少,曲线y=f(x)是凹的B. f(x)单调减少,曲线y=f(x)是凸的C. f(x)单调增加,曲线y=f(x)是凹的D. f(x)单调增加,曲线y=f(x)是凸的
设函数$f(x)$在区间$(a,b)$内满足$f'(x)< 0$,$f''(x) >0$，则在区间$(a,b)$内()。
A. $f(x)$单调减少,曲线$y=f(x)$是凹的
B. $f(x)$单调减少,曲线$y=f(x)$是凸的
C. $f(x)$单调增加,曲线$y=f(x)$是凹的
D. $f(x)$单调增加,曲线$y=f(x)$是凸的
题目解答
答案
B. $f(x)$单调减少,曲线$y=f(x)$是凸的
解析
步骤 1：分析$f'(x)< 0$
函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的一阶导数$f'(x)< 0$，说明函数$f(x)$在该区间内是单调减少的。这是因为一阶导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在该点的斜率，当$f'(x)< 0$时，函数$f(x)$在该点的斜率为负，即函数$f(x)$在该区间内是单调减少的。
步骤 2：分析$f''(x) >0$
函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的二阶导数$f''(x) >0$，说明函数$f(x)$在该区间内是凸的。这是因为二阶导数$f''(x)$表示函数$f(x)$在该点的曲率，当$f''(x) >0$时，函数$f(x)$在该点的曲率为正，即函数$f(x)$在该区间内是凸的。
步骤 3：综合分析
根据步骤1和步骤2的分析，可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(a,b)$内是单调减少的，且曲线$y=f(x)$是凸的。
函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的一阶导数$f'(x)< 0$，说明函数$f(x)$在该区间内是单调减少的。这是因为一阶导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在该点的斜率，当$f'(x)< 0$时，函数$f(x)$在该点的斜率为负，即函数$f(x)$在该区间内是单调减少的。
步骤 2：分析$f''(x) >0$
函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的二阶导数$f''(x) >0$，说明函数$f(x)$在该区间内是凸的。这是因为二阶导数$f''(x)$表示函数$f(x)$在该点的曲率，当$f''(x) >0$时，函数$f(x)$在该点的曲率为正，即函数$f(x)$在该区间内是凸的。
步骤 3：综合分析
根据步骤1和步骤2的分析，可以得出结论：函数$f(x)$在区间$(a,b)$内是单调减少的，且曲线$y=f(x)$是凸的。