已知椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1（a＞b＞0）的离心率e=(1)/(2)，左顶点为A，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中S_(△ABC)=(3sqrt(3))/(2)．（1）求椭圆方程．（2）过点（0，-(3)/(2)）的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得overrightarrow(TP)•overrightarrow(TQ)≤0恒成立．若存在，求出这个T点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

解：（1）因为椭圆的离心率为$e=\frac{1}{2}$，
所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，即a=2c,其中c为半焦距，
a²=b²+c²，
则$b=\sqrt{3}c$，
所以A（-2c,0），$B（0，-\sqrt{3}c）$，$C（0，-\frac{\sqrt{3}c}{2}）$，
$S_{ΔABC}=\frac{1}{2}×2c×\frac{\sqrt{3}}{2}c=\frac{3\sqrt{3}}{2}$，解得$c=\sqrt{3}$，
故$a=2\sqrt{3}$，b=3，
故椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$；
（2）①若过点$（0，-\frac{3}{2}）$ 的动直线的斜率不存在，
则P（0，3），Q（0，-3）或P（0，-3），Q（0，3），此时-3≤t≤3，

②若过点$（0，-\frac{3}{2}）$ 的动直线的所率存在，
则可设该直线方程为：$y=kx-\frac{3}{2}$，
设P（x₁，y₁） Q（x₂，y₂），T（0，t），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\frac{3}{2}}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=36}\end{array}\right.$，化简整理可得，（3+4k²）x²-12kx-27=0，
故Δ=144k²+108（3+4k²）=324+576k²＞0 $x_1+x_2=\frac{12k}{3+4k^2}$，$x_1x_2=-\frac{27}{3+4k^2}$；
$\overrightarrow{TP}=（x_1，y_1-t）$，$\overrightarrow{TQ}=（x_2，y_2-t）$，
故$\overrightarrow{TP}•\overrightarrow{TQ}=x_{1}x_{2}+（y_{1}-t）（y_{2}-t）=x_{1}x_{2}+（ki_{1}-\frac{3}{2}-t）（kx_{2}-\frac{3}{2}-t）$=$（1+k^{2}）x_{1}x_{2}-k（\frac{3}{2}+t）（x_{1}+x_{2}）+（\frac{3}{2}+t）^{2}$
=$（1+k^{2}）×（-\frac{27}{3+4k^{2}}）-k（\frac{3}{2}+t）×\frac{12k}{3+4k^{2}}+（\frac{3}{2}+t）^{2}$ $-27k^2-27-18k^2-12k^2t+3（\frac{3}{2}+t）^2+（3+2t）^2k^2$ 3+4k²
=$\frac{[（3+2t）^{2}-12t-45]k^{2}+3（\frac{3}{2}+t）^{2}-27}{3+4k^{2}}$，
$\overrightarrow{TP}•\overrightarrow{TQ}≤0$ 恒成立，故$\left\{\begin{array}{l}{3（\frac{3}{2}+t）^{2}-27≤0}\\{（3+2t）^{2}-12t-45≤0}\end{array}\right.$，解得$-3≤t≤\frac{3}{2}$，
若$\overrightarrow{TP}•\overrightarrow{TQ}≤0$恒成立．
结合①②可知，$-3≤t≤\frac{3}{2}$．
故这个T点纵坐标的取值范围为[-3，$\frac{3}{2}$]．