5.设 ,b,c,mu gt 0 ,曲面 =mu 与曲面 dfrac ({x)^2}({a)^2}+dfrac ({y)^2}({b)^2}+dfrac ({z)^2}({c)^2}=1 相切,则 μ= __

步骤 1：确定曲面的法向量
曲面 $xyz=\mu$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(yz,xz,xy)$。
曲面 $\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\dfrac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$ 的法向量为 $\vec{n_2}=(\dfrac{2x}{a^2},\dfrac{2y}{b^2},\dfrac{2z}{c^2})$。

步骤 2：利用法向量相等的条件
由于两曲面相切，它们在切点处的法向量必须平行，即 $\vec{n_1} \parallel \vec{n_2}$。因此，我们有：
$$\dfrac{yz}{\dfrac{2x}{a^2}}=\dfrac{xz}{\dfrac{2y}{b^2}}=\dfrac{xy}{\dfrac{2z}{c^2}}$$
简化得到：
$$\dfrac{a^2yz}{2x}=\dfrac{b^2xz}{2y}=\dfrac{c^2xy}{2z}$$
进一步简化得到：
$$\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$$

步骤 3：利用曲面方程求解 μ
由于 $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}$，设 $\dfrac{x^2}{a^2}=\dfrac{y^2}{b^2}=\dfrac{z^2}{c^2}=k$，则有 $x^2=ka^2$，$y^2=kb^2$，$z^2=kc^2$。
将 $x^2=ka^2$，$y^2=kb^2$，$z^2=kc^2$ 代入 $\dfrac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\dfrac{{y}^{2}}{{b}^{2}}+\dfrac{{z}^{2}}{{c}^{2}}=1$，得到 $k+k+k=1$，即 $3k=1$，从而 $k=\dfrac{1}{3}$。
因此，$x^2=\dfrac{a^2}{3}$，$y^2=\dfrac{b^2}{3}$，$z^2=\dfrac{c^2}{3}$。
由于 $xyz=\mu$，代入 $x=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$，$y=\dfrac{b}{\sqrt{3}}$，$z=\dfrac{c}{\sqrt{3}}$，得到 $\mu=\dfrac{abc}{3\sqrt{3}}$。